Temura und Reihe (Mathematik): Unterschied zwischen den Seiten

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'''Temura''' ([[Hebräische Sprache|hebr.]] תמורה) ist ein Verfahren der jüdischen [[Hermeneutik]], neben anderen, wie [[Gematria]], [[Zeruph]] und [[Notarikon]]. Daneben ist Temura der Titel eines [[Wikipedia:Liste der Mischnatraktate|Mischnatraktates]] aus der 5. Ordnung ''Qodaschim''. Dort geht es ebenfalls um Tausch, genauer um den Umtausch von Opfertieren.
Eine unendliche '''Reihe''' ist [[Mathematik|mathematisch]] definiert als [[Folge (Mathematik)|Folge]] der '''Partialsummen''' <math>\left(s_n\right)</math> einer anderen Folge <math>\left(a_i\right)</math>:


== Wortbedeutung ==
Für eine beliebige Folge <math>\left(a_i\right)</math> ist die <math>n</math>-te Partialsumme ist die Summe ihrer ersten <math>n</math> Glieder:
Das Wort Temura bezeichnet sowohl den Vorgang als auch das Ergebnis eines „Umtauschs“ bzw. einer „Vertauschung“. Es leitet sich von der Wurzel מור (''mur'') ab, welche so viel wie „tauschen, wechseln“ bedeutet.


== Das Verfahren ==
:<math>s_n = a_0 + a_1 + \ldots + a_n = \sum_{i=0}^n a_i</math>


Das Verfahren ist relativ einfach. Man legt ein vollständiges Alphabet im Kreise aus und ein zweites in diesen Kreis hinein. Nun kann man den inneren Kreis um einen oder mehrere Buchstaben verdrehen und erhält so verschiedene Schlüssel (Atba; der nächste Aschbath, danach Arbasch, etc. etc.) Nun schreibt man das Wort auf, welches man erläutert haben will, und sucht sich unter einem Schlüssel (Das Rad darf während der Prozedur nicht gedreht werden.) die den einzelnen Buchstaben entsprechenden Partner heraus. Man hat das Wort praktisch verschlüsselt. Den frühen Anwendern ging es aber nicht um [[Wikipedia:Kryptographie|Kryptographie]], wie wir sie heute verstehen, sondern um Hermeneutik.
== Konvergenz ==
Falls die Reihe, d.h. die Folge der Partialsummen, [[Konvergenz|konvergiert]], so ist ihr [[Grenzwert]] die ''Summe'' oder der ''Wert'' der Reihe:


Es gibt auch bei weitem kompliziertere Schlüssel. Man teilt das Alphabet genau in der Mitte, schreibt die ersten 11 Zeichen auf den äußeren Ring, die letzten 11 in den inneren Ring und erhält so den [[Atbash]], Albat etc. oder man dreht die Richtung des inneren Alphabetes und erhält so den Albam, Atbal etc. etc. Darüber hinaus gibt es noch viele andere, kompliziertere Schlüssel.
:<math>\lim_{n \to \infty} s_n = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=0}^n a_i</math>


== Beispiel ==
Eine Reihe ist genau dann '''absolut konvergent''', wenn die Reihe ihrer Absolutbeträge <math>\sum_{n=1}^\infty |s_n|</math> konvergiert.
Aus dem Worte יהוה ([[JHVH]] - [[GOTT]]) wird so, wenn man einen Buchstaben weiterschiebt, also im Atbah, die Konsonantenfolge כוזו Kusu, welche erst einmal keine Bedeutung hat, aber den Zahlenwert 39. Soweit der Zeruph - das Verfahren.


Die Zahl 39 schreibt man auf Hebr. לט (Tal), ein Wort, welches wiederum die Bedeutung „Tau“ - also, der vom Himmel fällt - trägt. Nach diesem Worte ist der [[Wikipedia:Tallit|Tallit]], der Gebetsmantel der Juden genannt. Die 39 nun ist wiederum Summe von 26 und 13. Erstere Zahl ist der natürliche Zahlenwert des Tetragrammatons, letztere des hebr. Wortes für Einheit אחד nach der [[Gematria]] der natürlichen Zahlenwerte.
''Konvergente'' Reihen können gliedweise [[Addition|addiert]], [[Subtraktion|subtrahiert]] oder mit einem [[konstante]]n Faktor [[Multiplikation|multipliziert]] werden. ''Absolut konvergierende'' Reihen können auch gliedweise miteinander multipliziert werden. Die resultierende Reihe ist dann ebenfalls konvergent.


== Literatur ==
== Beispiele ==


*Oaknin, Symbole des Judentums, München; 1995
=== Arithmetische Reihe ===
*Dornseiff: „Das Alphabet in Mystik und Magie“; Leipzig 1925
*Jewish Encyclopedy


[[Kategorie:Kabbala]]
Eine '''arithmetische Reihe''' ist die Reihe einer [[Arithmetische Folge|arithmetischen Folge]]. Die Summe einer endlichen arithmetischen Reihe ergibt auf einfache Weise aus dem [[Arithmetisches Mittel|arithmetischen Mittel]] des ersten und des letzten Gliedes:


{{Wikipedia}}
:<math>s_n = \sum_{i=0}^n(a_0 + i \cdot d)  = n \cdot \frac{a_0 + a_n}{2}</math>
 
=== Geometrische Reihe ===
 
Eine '''geometrische Reihe''' ist die Reihe einer [[Geometrische Folge|geometrischen Folge]]. Für eine [[Konvergenz|konvergente]] geometrische Reihe mit <math>|q|<1</math> und folglich <math>\lim_{n \to \infty} q^{n+1}=0</math> ergibt sich dann:
 
:<math>s_n = \sum_{i=0}^{n} a_0 q^i = a_0 + a_0 q + a_0 q^2 + \dotsb + a_0 q^n = a_0\frac{1-q^{n+1}}{1-q}</math>
 
Die Formel für die n-te Partialsumme lässt sich wie folgt herleiten:
 
:<math>s_n = a_0 + a_0 q + a_0 q^2 + \dotsb + a_0 q^n = a_0 (1 + q + q^2 + \dotsb + q^n) |\cdot q</math>
 
:<math>q s_n = a_0 (q + q^2 + q^3 + \dotsb + q^{n+1})</math>
 
Durch Subtraktion der zweiten Gleichung von der ersten ergibt sich:
 
:<math>s_n - q s_n = a_0 (1 - q^{n+1})</math>
 
:<math>s_n (1-q) = a_0 (1 - q^{n+1}) \  |: (1-q) </math>
 
:<math>s_n = a_0\frac{q^{n+1}-1}{q-1} = a_0\frac{1-q^{n+1}}{1-q}</math>
 
Für den Grenzwert der Reihe folgt daraus:
 
:<math>\lim_{n \to \infty} s_n = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=0}^{n} a_0 q^i = \frac{a_0}{1-q}</math>
 
So hat z.B. die Reihe <math>s_n = \sum_{i=0}^{n} \frac1{2^n} = (1, 1 + \frac12, 1 + \frac12 + \frac14, 1 + \frac12 + \frac14 + \frac18, \dots) = (1, \frac32, \frac74, \frac{15}8, \dots) =</math> mit <math>a_0=1</math> und <math>q=\frac12</math> den Grenzwert <math>\lim_{n \to \infty} s_n = \frac1{1 - \frac12} = \frac1{\frac12} = 2</math>
 
== Siehe auch ==
 
* {{WikipediaDE|Reihe (Mathematik)}}
 
[[Kategorie:Mathematik]]

Version vom 22. April 2018, 20:12 Uhr

Eine unendliche Reihe ist mathematisch definiert als Folge der Partialsummen einer anderen Folge :

Für eine beliebige Folge ist die -te Partialsumme ist die Summe ihrer ersten Glieder:

Konvergenz

Falls die Reihe, d.h. die Folge der Partialsummen, konvergiert, so ist ihr Grenzwert die Summe oder der Wert der Reihe:

Eine Reihe ist genau dann absolut konvergent, wenn die Reihe ihrer Absolutbeträge konvergiert.

Konvergente Reihen können gliedweise addiert, subtrahiert oder mit einem konstanten Faktor multipliziert werden. Absolut konvergierende Reihen können auch gliedweise miteinander multipliziert werden. Die resultierende Reihe ist dann ebenfalls konvergent.

Beispiele

Arithmetische Reihe

Eine arithmetische Reihe ist die Reihe einer arithmetischen Folge. Die Summe einer endlichen arithmetischen Reihe ergibt auf einfache Weise aus dem arithmetischen Mittel des ersten und des letzten Gliedes:

Geometrische Reihe

Eine geometrische Reihe ist die Reihe einer geometrischen Folge. Für eine konvergente geometrische Reihe mit und folglich ergibt sich dann:

Die Formel für die n-te Partialsumme lässt sich wie folgt herleiten:

Durch Subtraktion der zweiten Gleichung von der ersten ergibt sich:

Für den Grenzwert der Reihe folgt daraus:

So hat z.B. die Reihe mit und den Grenzwert

Siehe auch