GiNaT und Reihe (Mathematik): Unterschied zwischen den Seiten

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'''GiNaT''' ([[Hebräische Sprache|hebr.]] גנת) ist ein [[Wikipedia:Akronym|Akronym]] für drei verschiedene Ansätze der [[Wikipedia:Exegese|Exegese]] der [[Wikipedia:Bibel#Die jüdische Bibel|Jüdischen Bibel]] und anderer heiliger Texte in der Tradition des [[Wikipedia:Rabbiner|rabbinischen]] Judentums:
Eine unendliche '''Reihe''' ist [[Mathematik|mathematisch]] definiert als [[Folge (Mathematik)|Folge]] der '''Partialsummen''' <math>\left(s_n\right)</math> einer anderen Folge <math>\left(a_i\right)</math>:


*Der erste Konsonant [[Gimel|Gimel (G)]] steht für ''[[Gematrie|Gematria]]''.
Für eine beliebige Folge <math>\left(a_i\right)</math> ist die <math>n</math>-te Partialsumme ist die Summe ihrer ersten <math>n</math> Glieder:
*Der zweite Konsonant [[Nun|Nun (N)]] steht für ''[[Notarikon]]''.
*Der dritte Konsonant [[Taw|Taw (T)]] steht für ''[[Temura]]''.


Das Wort ''ginnat'' (גנת) ist der [[Wikipedia:Status constructus|Status constructus]] von ''ginna'' (גנה; dt. ''Garten'') und taucht als Akronym im Titel ''Ginnat egos'' (גנת אגוז; dt. ''Nussgarten'', verfasst 1274, Erstdruck 1615) des spanischen [[Kabbala|Kabbalisten]] [[Wikipedia:Josef Gikatilla|Josef Gikatilla]] auf.
:<math>s_n = a_0 + a_1 + \ldots + a_n = \sum_{i=0}^n a_i</math>


== Auslegung der Tora ==
== Konvergenz ==
Über klassische Lesarten hinaus lassen sich mit Hilfe dieses Systems einige Bibelstellen in einem neuen, nicht wörtlichen Sinn interpretieren. Nach der kabbalistischen Buchstabenmystik sind die Worte und Buchstaben der Bibel mystische Chiffren oder Zahlen. Dies geschieht entweder synthetisierend oder identifizierend.
Falls die Reihe, d.h. die Folge der Partialsummen, [[Konvergenz|konvergiert]], so ist ihr [[Grenzwert]] die ''Summe'' oder der ''Wert'' der Reihe:
Die ''Ginat-[[Wikipedia:Typologie (Bibel)|Typologie]]'' steht mit der Pardes-Methodik in Verbindung. Diese besagt, dass der Tanach vierlagig angelegt wurde. Die Ginat-Methodik spricht von einem weiteren dreifachen Wortsinn. „Ginat“ bedeutet aus dem Hebräischen „Garten“. Das Wort GiNaT  wird aus den Anfangsbuchstaben der Worte: ''Gematria'', ''Notarikon'' und ''Temura'' zusammengesetzt.
Gematria ist eine Methode zur Interpretation von Worten mit Hilfe von Zahlen. Dabei werden Buchstaben in ihre Zahlenwerte überführt. Aus den Zahlenwerten werden dann Bedeutungen  und Verbindungen abgeleitet. Notarikon ist eine Methode mit der Anfangs- oder Endbuchstaben eines Wortes verbunden werden, um ein anderes Wort zu bilden. Daraus lassen sich andere, neue Worte oder Sätze finden. Temura ist eine Methode, um ein Wort zu erläutern, indem dessen Buchstaben miteinander vertauscht werden. Dadurch entsteht eine erklärende oder verborgene Bedeutung. Die ''Pardes-Ginat-Methode'' bzw. ''Paradies-Garten-Methode'' besagt also, dass alles in der Bibel einen siebenfachen Sinn hat.


== [[Gematria]] ==
:<math>\lim_{n \to \infty} s_n = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=0}^n a_i</math>
Gematria wird auch ''identisierende Zahlenmystik'' genannt. Beispiel: Das hebräische Wort AChaD (אחז) bedeutet „ein“ und hat den Zahlenwert 13 (1+8+4). Das hebräische Wort AHaWA (אהבה) bedeutet „Liebe“ und hat ebenfalls den Zahlenwert 13 (1+5+2+5). Beide Worte sind laut der Gematria austauschbar:


::„Darum wird ein Mann Vater und Mutter verlassen und an seinem Weibe hangen, und sie werden sein '''ein''' Fleisch.“ ([[Wikipedia:1. Buch Mose|1. Buch Mose]] 2,24)
Eine Reihe ist genau dann '''absolut konvergent''', wenn die Reihe ihrer Absolutbeträge <math>\sum_{n=1}^\infty |s_n|</math> konvergiert.


Die Gematria überführt ein Wort in seinen Zahlenwert, um eine verborgene oder andere Bedeutung zu finden. Dann wird aus dem gleichen Zahlenwert ein neues Wort gebildet. Das Wort '''ein''' - im obigen Vers - kann dementsprechend zum Wort '''Liebe''' umformuliert werden, weil beide den gleichen Zahlenwert haben:
''Konvergente'' Reihen können gliedweise [[Addition|addiert]], [[Subtraktion|subtrahiert]] oder mit einem [[konstante]]n Faktor [[Multiplikation|multipliziert]] werden. ''Absolut konvergierende'' Reihen können auch gliedweise miteinander multipliziert werden. Die resultierende Reihe ist dann ebenfalls konvergent.


:: Darum wird ein Mann Vater und Mutter verlassen und an seinem Weibe hangen, und sie werden sein '''liebendes''' Fleisch.
== Beispiele ==


== [[Notarikon]] ==
=== Arithmetische Reihe ===
Notarikon wird auch ''synthetisierende Zahlenmystik'' genannt und erfolgt durch Erweiterung und Ergänzung von Buchstaben und Worten. So ruft David in seinem Testament für seinen Sohn Salomon (1 Kön 2,8): „Er hat mich verflucht mit einem harten (נמרצת [NiMReZeT]) Fluch .“
Die Konsonanten des hebräischen Wortes ''nimrezet'' bergen nach dieser Methodik folgende schmähende Vorwürfe in sich:


* '''N'''oeph: Ehebrecher
Eine '''arithmetische Reihe''' ist die Reihe einer [[Arithmetische Folge|arithmetischen Folge]]. Die Summe einer endlichen arithmetischen Reihe ergibt auf einfache Weise aus dem [[Arithmetisches Mittel|arithmetischen Mittel]] des ersten und des letzten Gliedes:
* '''M'''oabi: Moabiter
* '''R'''ozeach: Mörder
* '''Z'''ores: Gewalttätiger
* '''T'''oeb: Grausamer


== [[Temura]] ==
:<math>s_n = \sum_{i=0}^n(a_0 + i \cdot d)  = n \cdot \frac{a_0 + a_n}{2}</math>
Temura wird auch ''synthetisierende Zahlenmystik'' genannt, aber in diesem Fall erfolgt sie durch Umstellung der Buchstaben. Beispiel: Gott sagt im [[Wikipedia:2. Buch Mose|2. Buch Mose]] (23,23): ''Ich will vor dir meinen Engel'' (מלאכי; ''Mal'achi'') ''einhersenden!'' Durch Umstellung der Buchstaben von ''meinen Engel'' erhält man den Namen des Engels ''Michael'' (מיכאל).


== Literatur (Auswahl) ==
=== Geometrische Reihe ===
* [[Wikipedia:Isaak Heinemann|I. Heinemann]]: ''Die wissenschaftliche Allegoristik des jüdischen Mittelalters'', in: Hebrew Union College Annual 23 (1950), 611-643.
* Giovanni Grippo: ''Die Kabbalah - Die Vereinigung vieler Philosophien'' Steinbach (Ts) 2009 - ISBN 978-3981062229


[[Kategorie:Rabbinisches Judentum]]
Eine '''geometrische Reihe''' ist die Reihe einer [[Geometrische Folge|geometrischen Folge]]. Für eine [[Konvergenz|konvergente]] geometrische Reihe mit <math>|q|<1</math> und folglich <math>\lim_{n \to \infty} q^{n+1}=0</math> ergibt sich dann:
[[Kategorie:Jüdische Hermeneutik|H]]
[[Kategorie:Judentum]]


{{Wikipedia}}
:<math>s_n = \sum_{i=0}^{n} a_0 q^i = a_0 + a_0 q + a_0 q^2 + \dotsb + a_0 q^n = a_0\frac{1-q^{n+1}}{1-q}</math>
 
Die Formel für die n-te Partialsumme lässt sich wie folgt herleiten:
 
:<math>s_n = a_0 + a_0 q + a_0 q^2 + \dotsb + a_0 q^n = a_0 (1 + q + q^2 + \dotsb + q^n) |\cdot q</math>
 
:<math>q s_n = a_0 (q + q^2 + q^3 + \dotsb + q^{n+1})</math>
 
Durch Subtraktion der zweiten Gleichung von der ersten ergibt sich:
 
:<math>s_n - q s_n = a_0 (1 - q^{n+1})</math>
 
:<math>s_n (1-q) = a_0 (1 - q^{n+1}) \  |: (1-q) </math>
 
:<math>s_n = a_0\frac{q^{n+1}-1}{q-1} = a_0\frac{1-q^{n+1}}{1-q}</math>
 
Für den Grenzwert der Reihe folgt daraus:
 
:<math>\lim_{n \to \infty} s_n = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=0}^{n} a_0 q^i = \frac{a_0}{1-q}</math>
 
So hat z.B. die Reihe <math>s_n = \sum_{i=0}^{n} \frac1{2^n} = (1, 1 + \frac12, 1 + \frac12 + \frac14, 1 + \frac12 + \frac14 + \frac18, \dots) = (1, \frac32, \frac74, \frac{15}8, \dots) =</math> mit <math>a_0=1</math> und <math>q=\frac12</math> den Grenzwert <math>\lim_{n \to \infty} s_n = \frac1{1 - \frac12} = \frac1{\frac12} = 2</math>
 
== Siehe auch ==
 
* {{WikipediaDE|Reihe (Mathematik)}}
 
[[Kategorie:Mathematik]]

Version vom 22. April 2018, 20:12 Uhr

Eine unendliche Reihe ist mathematisch definiert als Folge der Partialsummen einer anderen Folge :

Für eine beliebige Folge ist die -te Partialsumme ist die Summe ihrer ersten Glieder:

Konvergenz

Falls die Reihe, d.h. die Folge der Partialsummen, konvergiert, so ist ihr Grenzwert die Summe oder der Wert der Reihe:

Eine Reihe ist genau dann absolut konvergent, wenn die Reihe ihrer Absolutbeträge konvergiert.

Konvergente Reihen können gliedweise addiert, subtrahiert oder mit einem konstanten Faktor multipliziert werden. Absolut konvergierende Reihen können auch gliedweise miteinander multipliziert werden. Die resultierende Reihe ist dann ebenfalls konvergent.

Beispiele

Arithmetische Reihe

Eine arithmetische Reihe ist die Reihe einer arithmetischen Folge. Die Summe einer endlichen arithmetischen Reihe ergibt auf einfache Weise aus dem arithmetischen Mittel des ersten und des letzten Gliedes:

Geometrische Reihe

Eine geometrische Reihe ist die Reihe einer geometrischen Folge. Für eine konvergente geometrische Reihe mit und folglich ergibt sich dann:

Die Formel für die n-te Partialsumme lässt sich wie folgt herleiten:

Durch Subtraktion der zweiten Gleichung von der ersten ergibt sich:

Für den Grenzwert der Reihe folgt daraus:

So hat z.B. die Reihe mit und den Grenzwert

Siehe auch