Metrischer Raum

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Ein metrischer Raum ist eine abstrakte mathematische Menge, auf der eine Metrik, d.h. eine Abstandsfunktion definiert ist, die je zwei Elementen dieses Raumes einen nicht negativen reellen Zahlenwert zuordnet, der als Abstand dieser beiden Elemente interpretiert wird. Eine Abbildung, die zwei metrische Räume so aufeinander abbildet, dass die Metrik erhalten bleibt, heißt Isometrie. Eine isometrische Abbildung ist also abstandsherhaltend bzw. längentreu, d.h. der Abstand zweier Punkte und ist gleich dem Abstand der zugehörigen Bildpunkte und .

Das klassische Beispiel eines metrischen Raumes ist der aus unserer unmittelbaren Anschauung bekannte dreidimensionale Euklidische Raum. Aber etwa auch die reellen Zahlen bilden mit der Distanzfunktion mathematisch betrachtet einen metrischen Raum.

Formale Definition

Ein metrischer Raum ist ein geordnetes Paar aus einer Menge und einer auf dieser definierten Metrik

sodass für alle gilt[1]

(Nicht-Negativität)
(Identität)
(Symmetrie)
(Dreiecksungleichung)

Die Nicht-Negativität folgt aus den anderen Bedingungen und kann daher weggelassen werden:

(Dreiecksungleichung)
(Symmetrie)
(Identität)

woraus unmittelbar folgt:

(Nicht-Negativität)

Siehe auch

Einzelnachweise

  1. B. Choudhary: The Elements of Complex Analysis, New Age International 1992, p. 20, ISBN 978-81-224-0399-2 google