Funktion (Mathematik) und Kategorie:Nationalismus: Unterschied zwischen den Seiten

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[[Datei:Potenzfkt.svg|mini|Graphen einiger Potenzfunktionen]]
Diese Kategorie enthält Unterkategorien und Artikel zum Thema [[Nationalismus]].
[[Datei:NičlePolinoma.gif|mini|[[Polynomfunktion]] mit mehreren Nullstellen]]
[[Datei:Three-dimensional graph.png|mini|Graph der Funktion <math> f(x,y) = \sin\left(x^2\right)\cos\left(y^2\right)</math>]]
[[Datei:Parabola2.svg|mini|Die [[Parabel|Normalparabel]] <math>f(x) = x^2</math> ist eine gerade Funktion.]]
[[Datei:Function x3.svg|mini|Die kubische Funktion <math>f(x) = x^3</math> ist eine ungerade Funktion.]]


Als '''Funktion''' (von [[lat.]] ''functio'' „Tätigkeit, Verrichtung“) oder '''Abbildung''' wird in der [[Mathematik]] eine [[Relation]] zwischen zwei [[Menge]]n bezeichnet, bei der jedem Element der [[Definitionsmenge]] <math>D</math> ('''Funktionsargument''', unabhängige Variable, <math>x</math>-Wert) genau ein Element der '''Zielmenge''' bzw. des '''Wertevorrats''' <math>Z</math> ('''Funktionswert''', abhängige Variable, <math>y</math>-Wert bzw. <math>f(x)</math>) zugeordnet wird:
'''{{WikipediaDE|Kategorie:Nationalismus}}'''


:<math>f\colon\, D\to Z,\; x\mapsto y</math>, &nbsp; oder äquivalent: &nbsp; <math>f\colon\, \begin{cases} D\to Z \\ x\mapsto y\end{cases}</math>
[[Kategorie:Nationalismus|!]]  
 
[[Kategorie:Politische Bewegung]]
== Grundlagen ==
[[Kategorie:Ideologie]]
 
[[Kategorie:Politik]]
Eine Funktion kann etwa durch eine '''Funktionsgleichung''' mit zugehöriger Definitionsmenge oder durch eine eindeutige '''Zuordnungsvorschrift''' angegeben werden, z.B.:
 
:<math>f(x) = x^2, \qquad x \in \mathbb{N}</math>
 
oder
 
:<math>x \mapsto x^2, \qquad x \in \mathbb{N}</math>
 
Ein Element <math>x_0</math> der Definitionsmenge heißt '''Nullstelle''', wenn gilt: <math>f\left(x_0\right)=0</math>.
 
=== Funktionsgraph ===
 
Die Menge der [[Geordnetes Paar|geordneten Paare]] <math>(x, f(x))</math> bildet den '''Funktionsgraph''' (kurz: '''Graph'''), der [[Grafik|graphisch]] in einem zweidimensionalen [[Koordinatensystem]] veranschaulicht werden kann, wobei auf der horizontalen <math>x</math>-Achse die Funktionsargumente und auf der <math>y</math>-Achse die zugehörigen Funktionswerte eingezeichnet sind. Die Grafik rechts oben zeigt etwa die Funktionsgraphen einiger [[Potenzfunktion]]en:
 
:<math>f\colon x \mapsto a x^r \qquad a,x,r \in \mathbb{R}</math>
 
=== Bild ===
 
Gegeben sei eine Funktion <math>f\colon\, D\to Z</math> und eine Teilmenge <math>M \subseteq D</math> (dabei kann es sich auch um ein einzelnes Element <math>x \in D</math> handeln) der Definitionsmenge; dann ist das '''Bild''' (auch '''Bildmenge''' oder '''Bildbereich''' von <math>M</math> unter <math>f</math> wie folgt definiert:
 
:<math>f(M) := \{ f(x) \mid x \in M\}</math>&nbsp; das Bild von <math>M</math> unter <math>f</math>.
 
Das Bild der gesamten Definitionsmenge <math>D</math> ist folglich:
 
:<math>\operatorname{Bild}(f) := f(D) </math>
 
=== Urbild ===
 
Gegeben sei wieder eine Funktion <math>f\colon\, D\to Z</math> und eine Teilmenge <math>M \subseteq Z</math> der Zielmenge; dann ist das '''Urbild''' von <math>M</math> unter <math>f</math> gegeben durch:
 
:<math>f^{-1}(M) := \left\{x\in A\mid f(x)\in M\right\}</math>
 
Diese '''Urbildfunktion''' weist jedem Element <math>M</math> der [[Potenzmenge]] <math>\mathcal{P}(Z)</math> der Zielmenge <math>Z</math> (d.h. der Menge all ihrer Teilmengen) das Urbild <math>f^{-1}(M)</math> als Element der Potenzmenge <math>\mathcal{P}(D)</math> der Definitionsmenge <math>D</math> zu.
 
== Identische Abbildung ==
 
Eine Funktion über einer [[Menge]] <math>M</math>, die genau ihr Argument zurückgibt, ist eine '''identische Abbildung''':
 
:<math>\operatorname{id}_M(x) = x</math>
 
== Umkehrfunktion ==
 
Die '''Umkehrfunktion''' oder '''inverse Funktion''' <math>f^{-1}\colon B \to A</math> einer [[Bijektivität|bijektiven]] Funktion <math>f\colon A \to B</math> weist jedem Element der [[Zielmenge]] <math>B</math> sein eindeutig bestimmtes ''Urbildelement'' der [[Definitionsmenge]] <math>A</math> zu.
 
== Fixelement ==
 
Ein '''Fixelement''' <math>x</math> ist ganz allgemein ein [[Element (Mathematik)|Element]] der [[Definitionsmenge]] <math>X</math>, das durch eine gegebene Abbildung <math>f \colon X \to X</math> auf sich selbst abgebildet wird, dass also für <math>x \in X</math> gilt:
 
:<math>f(x) = x</math>
 
Ein [[Punkt]], der auf sich selbst abgebildet wird, heißt '''Fixpunkt'''. Eine [[Gerade]], die auf sich selbst abgebildet wird, nennt man '''Fixgerade'''. Bei dieser muss es sich nicht notwendigerweise um eine '''Fixpunktgerade''' handeln, bei der zugleich auch alle Punkte auf sich selbst abgebildet werden, diese also Fixpunkte sind. Analog verhält es sich bei einer '''Fixebene''' oder '''Fixpunktebene''', wie sie etwa bei einer [[Ebenenspiegelung]] auftreten. Das Prinzip läss sich auf Räume beliegbiger [[Dimension (Mathematik)|Dimensionen]] erweitern. Man spricht dann ganz allgemein von einem '''Fixraum'''.
 
== Gerade und ungerade Funktionen ==
 
Eine '''gerade Funktion''' ist eine reelle Funktion in einer Variablen, deren [[Funktionsgraph]] [[achsensymmetrisch]] zur y-Achse ist. Eine '''ungerade Funktion''' zeichnet sich hingegen dadurch aus, dass der Funktiongraph [[punktsymmetrisch]] zum [[Koordinatenursprung]] ist.
 
== Symmetrische und antisymmetrische Funktionen ==
 
Eine '''symmetrische Funktion''' ist eine Funktion mehrerer Variablen, bei der die Variablen untereinander vertauscht werden können, ohne dass sich der Funktionswert verändert. Eine '''antisymmetrische Funktion''' ändert hingegen bei der Vertauschung zweier Variablen das Vorzeichen. Für zwei Variable gilt also beispielsweise:
 
:<math>f(x,y) = \quad f(y,x) \qquad symmetrisch</math>
:<math>f(x,y) = - f(y,x) \qquad antisymmetrisch</math>
 
In der [[Quantenphysik]] sind beispielsweise die [[Wellenfunktion]]en der [[Bosonen]] symmetrisch bzgl. der Vertauschung der Teilchenpositionen, die der [[Fermionen]] hingegen antisymmetrisch, woraus das [[Pauli-Prinzip]] folgt, das den schalenförmigen Aufbau der [[Elektronenhülle]] der [[Atom]]e erklärt.
 
== Glatte Funktion ==
 
Eine '''glatte Funktion''' ist [[Stetigkeit (Mathematik)|stetig]] und unendlich oft [[differenzierbar]].
 
== Konstante Funktion ==
 
Eine '''konstante Funktion''' (von {{laS|''constans''}} „feststehend“) nimmt für alle Argumente stets denselben Funktionswert an, d.h. eine Funktion <math>f</math> ist genau dann ''konstant'', wenn für alle <math>x,y \in A</math> gilt: <math>f(x)=f(y)</math>.
 
== Lineare Funktion ==
 
Eine '''lineare Funktion''' enthält die [[Unbekannte]](n) nur in der ersten [[Potenz (Mathematik)|Potenz]]; in ihrer einfachsten Form lautet daher ihre Funktionsgleichung mit den [[konstante]]n [[Parameter]]n <math>a, b</math>:
 
:<math>f(x) = a \cdot x + b</math>
 
Ihr Funktionsgraph ist eine Gerade, deren '''Steigung''' gleich <math>a</math> ist.
 
== Indikatorfunktion ==
 
Eine '''Indikatorfunktion''' oder '''charakteristische Funktion''' kann nur nur ein oder zwei Funktionswerte annehmen. Damit können komplexe Menge mathematisch exakt erfasst werden. Ein Beispiel ist die nach dem deutschen Mathematiker [[Wikipedia:Peter Gustav Lejeune Dirichlet|Peter Gustav Lejeune Dirichlet]] benannte '''Dirichlet-Funktion''', die die ''charakteristische Funktion'' der [[Rationale Zahlen|rationalen Zahlen]] ist:
 
:<math>D\colon \mathbb R\to\mathbb R,\quad x\mapsto D(x)=\begin{cases} 1, & \mbox{wenn }x\mbox{ rational,} \\ 0, & \mbox{wenn }x\mbox{ irrational.} \end{cases}</math>
 
== Komplexwertige Funktion ==
 
Eine '''komplexwertige Funktion''' hat eine Zielmenge <math>Z</math> aus dem Bereich der [[Komplexe Zahlen|komplexen Zahlen]] <math>\mathbb C</math>, wobei die Definitionsmenge <math>D</math> nicht allgemein festgelegt ist und beispielsweise auch auf den Bereich der [[Reelle Zahlen|reellen Zahlen]] eingeschränkt sein kann. Das ist etwa bei der [[Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] der Fall:
 
:<math>f(x) = \mathrm{e}^{\mathrm{i}\,x} = \cos\left(x \right) + \mathrm{i}\,\sin\left( x\right), \qquad x\in\mathbb R,\, f(x)\in\mathbb C</math>
 
Demgegenüber wird der Begriff '''komplexe Funktion''' nicht in eindeutiger Weise verwendet, sondern teilweise synonym zur ''komplexwertigen Funkton'', teilweise so, dass auch die Definitionsmenge <math>D</math> dem Bereich der komplexen Zahlen angehört.
 
== Siehe auch ==
* {{WikipediaDE|Funktion (Mathematik)}}
 
[[Kategorie:Mathematische Funktion|!]]
[[Kategorie:Kurve (Mathematik)]]

Version vom 29. September 2020, 20:20 Uhr

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