Arbeit (Physik) und Potential: Unterschied zwischen den Seiten

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'''Arbeit''' ([[Formelzeichen]] <math>W</math> von {{enS|''work''}}) ist in der [[Physik]] die [[Energie]], die durch Kräfte auf einen [[Körper (Physik)|Körper]] übertragen wird. Man sagt: „An dem Körper wird Arbeit verrichtet“ oder „Arbeit geleistet“. Das geschieht, indem eine [[Kraft]] längs eines [[Trajektorie (Physik)|Weges]] auf ihn einwirkt. Die geleistete Arbeit berechnet sich in diesem einfachsten Fall als [[Produkt (Mathematik)|Produkt]] aus der in Wegrichtung wirkenden Kraft mit der Wegstrecke. Bei nicht geradlinigen Wegen und nicht konstanten Kräften ist die Arbeit das [[Kurvenintegral]] über das [[Skalarprodukt]] aus Kraft und Weg.
Als '''Potential''' (von [[lat.]] ''[[potentia]]'' „Stärke, Macht“) wird ganz allgemein die ''Fähigkeit zur Entwicklung noch nicht ausgeschöpfter Möglichkeiten'' bezeichnet, die noch nicht [[aktuell]] verwirklicht, sondern nur [[potentiell]] veranlagt sind.


Da Arbeit mechanisch (oder elektrisch, elektromagnetisch, ) übertragene Energie ist, bezeichnet man in diesem Zusammenhang die Energie auch als ''gespeicherte Arbeit'' beziehungsweise als die ''Fähigkeit, Arbeit zu verrichten''.
In der [[Physik]] wird ein Potential mathematisch durch ein Skalarfeld <math>\Phi(\vec r)\,</math> repräsentiert, dessen [[Gradient (Mathematik)|Gradient]] das zugehörige [[Kraftfeld]] <math> \vec F(\vec r) ist; das negative Vorzeichen gibt an, dass der Kraftvektor <math>\vec F\ </math> stets dem Richtungsvektor <math>\vec r</math> des maximalen Potentialanstiegs <math>\Phi\ </math> entgegengerichtet ist. Es gilt also


In der [[Thermodynamik]] ist die Arbeit eine [[Prozessgröße]]. Auf ein [[Physikalisches System|System]] kann Energie auf zwei Arten übertragen werden: In Form von [[Wärme]]&shy;zufuhr <math>Q</math> (z.&nbsp;B. durch Heizung) oder auf mechanische Weise (z.&nbsp;B. durch Kompression). Da bei der Kompression eine Kraft längs eines Weges wirkt, wird die übertragene Energie als Arbeit (Symbol <math>W</math>) bezeichnet. In beiden Fällen ändert sich gemäß dem [[Erster Hauptsatz der Thermodynamik|ersten Hauptsatz der Thermodynamik]] die [[innere Energie]] <math>U</math> des Systems.
:<math> \vec F(\vec r) = -\operatorname {grad} \ \Phi(\vec r) = -\vec \nabla \Phi(\vec r)</math>


Die [[Internationales Einheitensystem|SI-Einheit]] für Arbeit ist identisch mit der für Energie: das [[Joule]] ([[Einheitenzeichen]] J). Aus dem Bezug der Arbeit zur Kraft (SI-Einheit [[Newton (Einheit)|Newton]]) und [[Leistung (Physik)|Leistung]] (SI-Einheit [[Watt (Einheit)|Watt]]) ergeben sich die SI-abgeleiteten Einheiten Newtonmeter (Nm)<ref>Diese Einheit ist nicht mit der Einheit des Drehmoments zu verwechseln, die auch mit Newtonmeter bezeichnet wird. Drehmoment und Arbeit hängen über die Gleichung <math>W = M \varphi</math> <!--  Kann jemand mal W und M und phi erläutern? Danke! --> zusammen. Da <math>\varphi</math> eine dimensionslose Größe ist, ist die Dimension von Arbeit und Drehmoment dieselbe, obwohl es sich um verschiedene Größenarten handelt.</ref> und [[Wattsekunde]] (Ws): Es gilt 1&nbsp;J&nbsp;= 1&nbsp;Nm&nbsp;= 1&nbsp;Ws. Häufig werden zudem die Einheiten [[Wattstunde]] (Wh) beziehungsweise Kilowattstunde (kWh) verwendet.
Ein '''Skalarpotential''' dient der mathematischen Beschreibung [[Konservatives Kraftfeld|konservativer Kraftfelder]]: Beispiele dafür sind etwa das [[Gravitationsfeld]] oder das [[Elektrisches Feld|elektrische Feld]]. Sie gehorchen folgenden Bedingungen:


Mit ''spezifischer Arbeit'' (Formelzeichen <math>w</math>) ist in der Thermodynamik das auf die Masse des Strömungsfluides bezogene Arbeitsvermögen, Einheit J/kg, gemeint (siehe auch [[Totalenthalpie]]).
* Das [[Wikipedia:Kurvenintegral|Kurvenintegral]] und damit die verrichtete [[Arbeit (Physik)|Physik]] ist nicht vom zurückgelegten Weg, sondern nur vom Anfangs- und Endpunkt abhängig, d.h.


== Definition ==
::<math>W=\int_{\vec r_1}^{\vec r_2} \vec F(\vec s)\cdot\mathrm d \vec r</math>
[[Datei:Force-distance-diagram-constant.svg|mini|Kraft-Weg-Diagramm bei konstanter Kraft. Die markierte Fläche bemisst die verrichtete Arbeit.]]
Arbeit wird in der Mechanik definiert als das [[Skalarprodukt]] aus [[Kraft]] und Weg: Wenn auf einen Körper auf der geraden Strecke vom Punkt A zum Punkt B eine konstante Kraft <math>\vec F</math> wirkt, dann wird am Körper die Arbeit
:<math>W = \vec F \cdot \vec s = |\vec F| \, |\vec s| \, \cos\sphericalangle\left(\vec F, \vec s\right)\,</math>
verrichtet. Dabei ist <math>\vec s </math> der Vektor von A nach B, und sein Skalarprodukt mit dem Vektor <math>\vec F</math> ist das Produkt der Beträge <math>|\vec F|</math> und <math>|\vec s|</math> mal dem [[Kosinus]] des eingeschlossenen Winkels.


Die Bedeutung des physikalischen Begriffs Arbeit beruht auf folgendem Sachverhalt: Beschleunigt die betrachtete Kraft den Körper, so erhöht sich seine [[kinetische Energie]] auf dem Weg von A nach B um die an ihm verrichtete Arbeit.
* Das [[Wikipedia:Ringintegral|geschlossene Kurvenintegral]] ist stets gleich [[Null]], d.h. auf einem geschlossenen Weg wird keine Arbeit geleistet:


Wirkt die konstante Kraft in Richtung des zurückgelegten Weges, dann ist die Arbeit das Produkt der Beträge <math>W = |\vec F| \, |\vec s|\,</math>, da der Winkel null und sein Kosinus = 1 ist.
::<math>\oint \operatorname{grad}\,\Phi(\vec r)\,\mathrm d \vec r = \oint \vec F(\vec r)\,\mathrm d \vec r = 0</math>


Ist die Richtung der Kraft der Bewegungsrichtung entgegengesetzt, dann bilden die beiden Vektoren einen Winkel von 180°, dessen Kosinus der Wert −1 ist. In diesem Fall wird an dem Körper eine negative Arbeit verrichtet, das heißt ihm wird Energie entnommen, er wird langsamer.
* Das Feld ist wirbelfrei, d.h.:


Ist die Richtung der Kraft senkrecht zum Weg, dann wird keine physikalische Arbeit verrichtet. Der physikalische Begriff entspricht also nicht dem alltäglichen Verständnis, nach dem jeder Kofferträger für seine verrichtete Arbeit bezahlt wird.
::<math>\operatorname {rot}\,(\operatorname{grad}\,\Phi(\vec r)) = \operatorname {rot}\,\vec F(\vec r) = \vec \nabla \times \vec F(\vec r) = \vec 0</math>
[[Datei:Force-distance-diagram.svg|mini|Kraft-Weg-Diagramm bei veränderbarer Kraft. Die markierte Fläche bemisst die verrichtete Arbeit.]]
Wenn die Kraft nicht entlang des gesamten Weges konstant ist oder der Weg nicht gerade ist, so kann man die Arbeit näherungsweise berechnen, indem man den Weg durch einen Streckenzug aus ''N'' geraden Teilstücken <math>\Delta \vec s_i</math> mit <math>i = (1, 2, 3, \dots, N)</math> nähert, auf denen die Kraft <math>\vec F(s_i)</math> jeweils näherungsweise als konstant angenommen werden kann. Die entlang des gesamten Weges verrichtete Arbeit ergibt sich dann näherungsweise durch Aufsummierung der Arbeiten entlang der einzelnen Wegstücke als


: <math>W \approx \sum_{i=1}^{N} W_i= \sum_{i=1}^{N} \vec F(\vec s_i) \cdot \Delta \vec s_i\,.</math> Mit <math>\sum</math> als [[Summenzeichen]].
[[Kategorie:Physik]] [[Kategorie:Mathematik]]
 
Um den genauen Wert zu erhalten, wählt man die Wegstücke immer kleiner, so dass ihre Länge gegen Null und ihre Anzahl gegen unendlich geht. Der [[Grenzwert (Folge)|Grenzwert]] der Summe ist das Weg- oder [[Kurvenintegral]].
 
: <math>W=\int_{\vec s_1}^{\vec s_2} \vec F(\vec s)\cdot\mathrm d \vec s\,\mathrm{,}</math>
 
wobei <math>\vec s_1\,</math> den Anfangs- und <math>\vec s_2\,</math> den Endpunkt des Weges bezeichnen.
 
Mittels der Variablensubstitution <math>\text{d}\vec{s}=\vec{v}\,\text{d}t</math> lässt sich das Arbeitsintegral mit der Geschwindigkeit <math>\vec{v}(t)</math> umschreiben zu
 
: <math>W=\int_{t_1}^{t_2} \vec{F}(t)\, \vec{v}(t) \, \text{d}t</math>
 
Ist die Kraft <math>\vec F(\vec s)</math> der [[Gradient (Mathematik)|Gradient]] eines [[Skalarpotential|Potentials]]
 
:<math>\vec F(\vec s) = \nabla V(\vec s)\mathrm{,}</math>
 
dann handelt es sich um eine [[konservative Kraft]]. In diesem Fall hängt der Wert des Integrals – also die Arbeit – nur von dem Start- und dem Endpunkt ab, jedoch nicht von dem genauen Verlauf des Weges. Man kann die Arbeit in einem [[Potenzialfeld]] also auch einfach durch die Differenz der [[Potentielle Energie|potentiellen Energien]] berechnen:
 
: <math>W = V(\vec s_2) - V(\vec s_1)</math>
 
Umgekehrt ist die potentielle Energie an einem bestimmten Ort gleich der Arbeit, die erforderlich ist, um den Probekörper von einem zuvor festgelegten Nullniveau dorthin zu bringen.
 
Handelt es sich bei dem Weg um eine geschlossene Kurve (sprich: sind der Start- und der Endpunkt identisch), dann ist die Arbeit Null.
 
[[Dissipation|Dissipativen Kräften]] liegt jedoch kein Potenzialfeld zugrunde. Dies ist z.&nbsp;B. bei der [[Reibung]] der Fall. Hier kommt die Arbeit nicht der potenziellen oder kinetischen Energie des Probekörpers zugute, sondern der inneren Energie des Systems. Die Dissipation von Arbeit ist ein irreversibler Prozess. Dabei erhöht sich die [[Entropie]] des Systems, ohne dass Wärme von außen zugeführt wurde.
 
== Kraftwandler und Goldene Regel der Mechanik ==
Will man eine bestimmte Arbeit mit geringerer Kraft leisten, so ist dies mit einem [[Kraftwandler]] möglich. Beispiele für Kraftwandler sind [[Flaschenzug|Flaschenzüge]], [[Hebel (Physik)|Hebel]] oder [[Getriebe]]. Jedoch verlängert sich der Weg über den die Kraft aufgebracht werden muss. Wird beispielsweise durch Verwendung eines Kraftwandlers nur ein Viertel der ohne ihn erforderlichen Kraft benötigt, so ist dies mindestens mit einer Vervierfachung des Weges verbunden. Diese Konsequenz des [[Energieerhaltungssatz]]es beschreibt die „[[Goldene Regel der Mechanik]]“.
 
== Beispiele ==
* '''Hubarbeit''': Arbeit, die an einem ruhenden Körper der [[Masse (Physik)|Masse]] <math>m</math> verrichtet werden muss, um ihn im homogenen [[Schwerefeld]] mit [[Erdbeschleunigung]] <math>g</math> um die Hubhöhe <math>h</math> zu heben
:: Die zum Heben benötigte Kraft beträgt (in Folge der Schwerkraft): <math>F = m\, g</math>,
:: Die zurückgelegte Strecke <math>s</math> entspricht der Höhe <math>h</math>.
:: Damit beträgt die geleistete Hubarbeit: <math>W_H = F \, s = m\, g\, h.</math>
 
* '''Spannarbeit''', auch [[Federarbeit]], um eine ''zunächst ungespannte'' Feder um die Strecke <math>s</math> zu dehnen:
:: Die (Spann-)Kraft einer Feder der [[Federkonstante]] <math>D</math> beträgt bei der Federdehnung <math>x</math>: <math>F(x) = D\,x</math>.
:: Da die Kraft längs des Weges nicht konstant ist, tritt an Stelle des Produkts <math>W = F\, s</math> das Integral <math>W = \int^s_0 F(x)\, dx</math>.
:: Damit beträgt die verrichtete Spannarbeit: <math>W_S = \int^s_0 D x\, dx = \frac 1 2 \, D \, s^2</math>.
 
* '''Beschleunigungsarbeit''': Eine Masse <math>m</math> wird ''aus der Ruhe'' auf eine Geschwindigkeit <math>v</math> beschleunigt:
::<math>W_B = \frac{1}{2} \, m \, v^2\,.</math>
 
* '''Kompressionsarbeit''': Arbeit, die an einem Gas verrichtet werden muss, um es vom Volumen <math>V_1</math> auf das Volumen <math>V_2</math> zu verdichten:
:: <math>W = -\int_{V_1}^{V_2} p \, \mathrm d V.</math>
: Das negative Vorzeichen stammt aus der Konvention, dass die ''von außen zugeführte'' Arbeit positiv zu werten ist. Der Druck <math>p</math> kann (je nach Art der Zustandsänderung) variabel oder konstant sein.
: Bei konstantem Druck wird daraus die Druck-Volumen-Arbeit, z.&nbsp;B. bei der Förderung eines Flüssigkeitsvolumens <math>V</math> gegen einen konstanten Förderungshinderungsdruck.
::<math>W_{DV} = p \, V\,.</math>
 
* '''Elektrische Arbeit''': Um die positive [[Elektrische Ladung|Ladung]]smenge <math>Q</math> von einem Punkt zu einem anderen zu bewegen, zwischen welchen die [[Elektrische Spannung]] <math>U</math> herrscht, muss die Arbeit
:: <math>W_\mathrm{el}=-\,Q\,U</math>
: verrichtet werden. Hierbei ist das Vorzeichen der Spannung so gewählt worden, dass sie positiv ist, wenn das elektrische Potential am Anfang höher ist als am Ende.
 
*'''Thermische Arbeit''', wenn zum Beispiel ein [[Tauchsieder]] kaltes Wasser und elektrische Arbeit (kWh) in heißes Wasser umwandelt.
 
* '''Reibungsarbeit''': Im einfachsten Fall, bei makroskopischen Körpern, definiert als Produkt aus [[Reibungskraft]] und Weg, also <math>W=\vec F_\mathrm{Reib} \cdot \vec s</math>. Allgemein wird hier mechanische Energie in [[Innere Energie]] umgewandelt. Siehe auch [[Dissipation]].
* Ein Beispiel aus der [[Physiologie]]: Die ''[[Herzarbeit]]'' setzt sich aus der Druck-Volumen-Arbeit und der Beschleunigungsarbeit durch Addition der Arbeit der beiden Ventrikel zusammen.<ref name="Intensivkurs Physiologie">Christian Hick, Astrid Hick: ''Intensivkurs Physiologie.'' 2009, ISBN 978-3-437-41893-8, S. 68–69.</ref><ref>[http://www.gesundheit.de/lexika/medizin-lexikon/herzarbeit gesundheit.de], Medizin-Lexikon.</ref>
 
== Siehe auch ==
* {{WikipediaDE|Arbeit (Physik)}}
 
== Literatur ==
* Christian Gerthsen, Dieter Meschede (Hrsg.): ''Physik.'' 23. Auflage. Springer Verlag, Berlin 2006, ISBN 3-540-25421-8.
* {{Literatur|Herausgeber=Joachim Grehn|Titel=Metzler Physik|Auflage=4.|Verlag=Schroedel Schulbuchverlag |Ort=Hannover |Jahr=2007 |ISBN=978-3-507-10710-6}}
 
== Einzelnachweise ==
<references />
 
== Weblinks ==
* [http://www.lernstunde.de/thema/arbeitenergie/grundwissen.htm Erklärung von Arbeit und Energie für Schüler]
* [http://www.leifiphysik.de/themenbereiche/arbeit-energie-und-leistung#Die%20physikalische%20Arbeit Arbeit auf Schülerniveau erklärt] (LEIFI)
 
[[Kategorie:Physikalische Größe]]
[[Kategorie:Klassische Mechanik]]
[[Kategorie:Arbeit (Physik)|!]]
[[Kategorie:Physik]]
 
{{Wikipedia}}

Version vom 19. März 2018, 14:42 Uhr

Als Potential (von lat. potentia „Stärke, Macht“) wird ganz allgemein die Fähigkeit zur Entwicklung noch nicht ausgeschöpfter Möglichkeiten bezeichnet, die noch nicht aktuell verwirklicht, sondern nur potentiell veranlagt sind.

In der Physik wird ein Potential mathematisch durch ein Skalarfeld repräsentiert, dessen Gradient das zugehörige Kraftfeld stets dem Richtungsvektor des maximalen Potentialanstiegs entgegengerichtet ist. Es gilt also

Ein Skalarpotential dient der mathematischen Beschreibung konservativer Kraftfelder: Beispiele dafür sind etwa das Gravitationsfeld oder das elektrische Feld. Sie gehorchen folgenden Bedingungen:

  • Das Kurvenintegral und damit die verrichtete Physik ist nicht vom zurückgelegten Weg, sondern nur vom Anfangs- und Endpunkt abhängig, d.h.
  • Das Feld ist wirbelfrei, d.h.: