Gruppe (Mathematik) und Länge: Unterschied zwischen den Seiten

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[[Datei:Rubik's cube.svg|mini|Auch die Drehungen eines [[Wikipedia:Zauberwürfel|Zauberwürfel]]s ({{EnS|Rubik’s Cube}}) bilden eine Gruppe.]]
Die '''Länge''' ist [[Mathematik|mathematisch]] gesehen ein [[Maß]] für den Weg entlang einer ''Kurve''. Eine '''Kurve''' (von [[lat.]] ''curvus'' „gebogen, gekrümmt“) ist ein beliebiges '''eindimensionales''' [[mathematisches Objekt]]. Auch '''Gerade''' zählen in diesem Sinn - auch wenn das der lateinischen Bezeichnung widerspricht - zu den Kurven.


Als '''Gruppe''' wird in der [[Mathematik]] eine [[Menge (Mathematik)|Menge]] von [[Element (Mathematik)|Elementen]] zusammen mit einer zweistelligen [[Verknüpfung (Mathematik)|Verknüpfung]] (z.B. Addition, Multiplikation), durch die jeweils zwei Elementen ein drittes Element derart zugeodnet wird, dass dabei folgende drei '''Gruppenaxiome''' erfüllt sind:
In der [[Physik]] ist die Länge eine [[physikalische Größe]], die die '''Ausdehnung''' und den '''Abstand''' physikalischer [[Objekt]]e bezeichnet. Das '''Längenmaß''' wird im [[SI-System]] in '''Meter''' ('''m''') angegeben. In der Vermessungstechnik kann sie im einfachsten Fall mit einer '''Messlatte''' oder einem '''Maßband''' ermittelt werden.


# Es gilt das [[Assoziativgesetz]], d.h. <math> a \star \left( b \star c \right) = \left( a \star b \right) \star c </math>
[[Bild:Messlatte1.png|center|700px|Zusammengehöriges und bei der Messung zusammen zu verwendendes Paar von hölzernen 3 Meter langen Messlatten mit Dezimeterteilung durch Rundnägel, Halbmeterteilung durch kleine Ecknägel, Meterteilung durch große Ecknägel und Farbgebung, Meißelkanten zum Aneinanderlegen. Ausschnittbild wie sie aneinander gelegt werden]]
# Es existiert ein '''neutrales Element''' <math>e</math>, sodass <math>e \star a = a</math> (linksneutral) oder <math>a \star e = a</math> (rechtsneutral). Wird auch das [[Kommutativgesetz]] erfüllt, ist <math>e \star a = a \star e = a</math>.
# Es gibt '''inverse Elemente''' <math>a^{-1}</math>, sodass <math>a^{-1} \star a = e</math> und/oder <math>a \star a^{-1} = e</math>


== Vom Meter abgeleitete Einheiten ==


== Abelsche Gruppe ==
{| class="wikitable"
Für eine '''abelsche Gruppe''' ist zusätzlich auch das [[Kommutativgesetz]] erfüllt, d.h. <math>a \star b = b \star a</math>. Die wichtigste und bekannteste abelsche Gruppe ist <math> (\mathbb Z,+,0) </math>, die aus der Menge der [[Ganze Zahlen|ganzen Zahlen]] <math>\{\ldots, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, \ldots\}</math> und der gewöhnlichen Addition <math> + </math> besteht.
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!Bezeichnung || Symbol || Faktor || Als Vielfaches||style="text-align:left;font-weight:normal"| '''Anmerkungen''']]
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|Kilometer {{Anker|Km}}{{Anker|km}}|| km || 10<sup>3{{0|-0}}</sup> || 1000&nbsp;m ||
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|Hektometer{{Anker|hm}}|| hm  || 10<sup>2{{0|-0}}</sup> || 100&nbsp;m || vor allem verwendet bei Artillerie und Marine, [[Wikipedia:Hektometerstein|Hektometerstein]] an Straßen
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| Dekameter {{Anker|Dekameter}}
| dam  || 10<sup>1{{0|-0}}</sup> || 10&nbsp;m || bis 1884 auch ''Kette''<ref name="alteNamen">Zu den deutschen Bezeichnungen Kette, Stab, Neuzoll und Strich:<br />
[http://www.retrobibliothek.de/retrobib/seite.html?id=135189 Eintrag „Strich, Maßbezeichnung“], Band 15, S. 436, in: Autorenkollektiv: ''Brockhaus' Konversationslexikon.'' F. A. Brockhaus, Leipzig/Berlin/Wien 1894–1896.<br />
H. Balsam: ''Leitfaden der Planimetrie nebst einer Sammlung von Lehrsätzen und Aufgaben.'' Nachdruck der 1. Auflage von 1872, Salzwasser Verlag, Paderborn, ISBN 978-3-8460-4629-6, {{Google Buch |BuchID=sVRdyf9bJqcC |Seite=68 |Hervorhebung=stab kette neuzoll strich}}.<br />
Adam Freiherr v. Burg: ''Das Pendel als Zeit- und Längenmass mit dem Uebergange auf das metrische Mass und Gewicht.'' In: Verein zur Verbreitung naturwissenschaftlicher Kenntnisse in Wien (Hrsg.): ''Populäre Vorträge aus allen Fächern der Naturwissenschaft.'' 16. Cyclus, Wien 1876, S. 509, [http://www.zobodat.at/pdf/SVVNWK_16_0479-0513.pdf#page=31 Scan als PDF] (1,4 MByte). Abgerufen 15. April 2018.</ref>
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|Meter {{Anker|m}} || m || 10<sup>0</sup> || 10 dm|| bis 1884 auch ''Stab''<ref name="alteNamen" />
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|Dezimeter {{Anker|dm}}|| dm || 10<sup>−1</sup> || 10 cm|| veraltet ''Decimeter'' (um 1900)
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|Zentimeter{{Anker|cm}}|| cm || 10<sup>−2</sup> || 10&nbsp;mm|| bis 1884 auch ''Neuzoll''<ref name="alteNamen" />
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|Millimeter{{Anker|mm}}{{Anker|Millimeter}} || mm || 10<sup>−3</sup> || 1000&nbsp;μm || bis 1884 auch ''Strich''<ref name="alteNamen" />
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|{{Anker|Mikrometer}}Mikrometer{{Anker|µm}}|| μm || 10<sup>−6{{0|0}}</sup> || 1000&nbsp;nm || veraltet ''Mikron'', im technischen Sprachgebrauch auch kurz μ (Aussprache „mü“)
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|Nanometer {{Anker|nm}}|| nm || 10<sup>−9{{0|0}}</sup> || 1000 pm || heute gebräuchlich für die [[Wellenlänge]] von Licht und in der [[Wikipedia:Nanotechnologie|Nanotechnologie]]
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|[[Wikipedia:Ångström (Einheit)|Ångström]] || Å || 10<sup>−10</sup> || 100 pm || heute gebräuchlich in der physikalischen Chemie und der molekularen Thermodynamik, nicht SI-konform
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|Pikometer {{Anker|pm}}|| pm || 10<sup>−12</sup> ||1000&nbsp;fm || gebräuchlich in der Chemie zur Angabe von [[Bindungslänge]]n
|-
|Femtometer {{Anker|fm}}|| fm || 10<sup>−15</sup> ||  || in der [[Wikipedia:Kernphysik|Kern-]] und [[Teilchenphysik]] als ''Fermi''
|}


== Halbgruppe ==
== Siehe auch ==
Eine '''Halbgruppe''' erfüllt nur die beiden ersten Bedingungen. So bildet etwa die Menge der [[Natürliche Zahl|natürlichen Zahlen]] <math>\mathbb N_0 = \{0, 1, 2, 3, \ldots\}</math> zusammen mit der gewöhnlichen Addition die kommutative (abelsche) Halbgruppe <math>(\mathbb N_0,+,0)</math>. Im Gegensatz zur der abelschen Gruppe <math>(\mathbb Z,+,0)</math> der [[Ganze Zahl|ganzen Zahlen]] <math>\mathbb Z = \{\ldots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots\}</math> fehlt hier die ganze „Hälfte“ der ''negativen Zahlen'' und damit die inversen Elemente.


== Gruppentheorie ==
* {{WikipediaDE|Länge}}
* {{WikipediaDE|Länge (Mathematik)}}
* {{WikipediaDE|Länge (Physik)}}


Die mathematische Disziplin, die sich mit den Gruppen beschäftigt, heißt '''Gruppentheorie'''.
== Einzelnachweise ==
 
== Siehe auch ==


* {{WikipediaDE|Gruppentheorie}}
<references />
* {{WikipediaDE|Gruppe (Mathematik)}}
* {{WikipediaDE|Abelsche Gruppe}}
* {{WikipediaDE|Halbgruppe}}
* [[Ring (Algebra)]]
* [[Körper (Algebra)]]


[[Kategorie:Mathematik]] [[Kategorie:Gruppentheorie]]
[[Kategorie:Mathematik]]  
[[Kategorie:Physik]]
[[Kategorie:Physikalische Größenart]]
[[Kategorie:Messtechnik]]

Version vom 11. Januar 2019, 15:25 Uhr

Die Länge ist mathematisch gesehen ein Maß für den Weg entlang einer Kurve. Eine Kurve (von lat. curvus „gebogen, gekrümmt“) ist ein beliebiges eindimensionales mathematisches Objekt. Auch Gerade zählen in diesem Sinn - auch wenn das der lateinischen Bezeichnung widerspricht - zu den Kurven.

In der Physik ist die Länge eine physikalische Größe, die die Ausdehnung und den Abstand physikalischer Objekte bezeichnet. Das Längenmaß wird im SI-System in Meter (m) angegeben. In der Vermessungstechnik kann sie im einfachsten Fall mit einer Messlatte oder einem Maßband ermittelt werden.

Zusammengehöriges und bei der Messung zusammen zu verwendendes Paar von hölzernen 3 Meter langen Messlatten mit Dezimeterteilung durch Rundnägel, Halbmeterteilung durch kleine Ecknägel, Meterteilung durch große Ecknägel und Farbgebung, Meißelkanten zum Aneinanderlegen. Ausschnittbild wie sie aneinander gelegt werden
Zusammengehöriges und bei der Messung zusammen zu verwendendes Paar von hölzernen 3 Meter langen Messlatten mit Dezimeterteilung durch Rundnägel, Halbmeterteilung durch kleine Ecknägel, Meterteilung durch große Ecknägel und Farbgebung, Meißelkanten zum Aneinanderlegen. Ausschnittbild wie sie aneinander gelegt werden

Vom Meter abgeleitete Einheiten

Bezeichnung Symbol Faktor Als Vielfaches Anmerkungen]]
Kilometer km 103-0 1000 m
Hektometer hm 102-0 100 m vor allem verwendet bei Artillerie und Marine, Hektometerstein an Straßen
Dekameter dam 101-0 10 m bis 1884 auch Kette[1]
Meter m 100 10 dm bis 1884 auch Stab[1]
Dezimeter dm 10−1 10 cm veraltet Decimeter (um 1900)
Zentimeter cm 10−2 10 mm bis 1884 auch Neuzoll[1]
Millimeter mm 10−3 1000 μm bis 1884 auch Strich[1]
Mikrometer μm 10−60 1000 nm veraltet Mikron, im technischen Sprachgebrauch auch kurz μ (Aussprache „mü“)
Nanometer nm 10−90 1000 pm heute gebräuchlich für die Wellenlänge von Licht und in der Nanotechnologie
Ångström Å 10−10 100 pm heute gebräuchlich in der physikalischen Chemie und der molekularen Thermodynamik, nicht SI-konform
Pikometer pm 10−12 1000 fm gebräuchlich in der Chemie zur Angabe von Bindungslängen
Femtometer fm 10−15 in der Kern- und Teilchenphysik als Fermi

Siehe auch

Einzelnachweise

  1. 1,0 1,1 1,2 1,3 Zu den deutschen Bezeichnungen Kette, Stab, Neuzoll und Strich:
    Eintrag „Strich, Maßbezeichnung“, Band 15, S. 436, in: Autorenkollektiv: Brockhaus' Konversationslexikon. F. A. Brockhaus, Leipzig/Berlin/Wien 1894–1896.
    H. Balsam: Leitfaden der Planimetrie nebst einer Sammlung von Lehrsätzen und Aufgaben. Nachdruck der 1. Auflage von 1872, Salzwasser Verlag, Paderborn, ISBN 978-3-8460-4629-6, eingeschränkte Vorschau in der Google Buchsuche.
    Adam Freiherr v. Burg: Das Pendel als Zeit- und Längenmass mit dem Uebergange auf das metrische Mass und Gewicht. In: Verein zur Verbreitung naturwissenschaftlicher Kenntnisse in Wien (Hrsg.): Populäre Vorträge aus allen Fächern der Naturwissenschaft. 16. Cyclus, Wien 1876, S. 509, Scan als PDF (1,4 MByte). Abgerufen 15. April 2018.