Polyeder und Raum (Mathematik): Unterschied zwischen den Seiten

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[[Datei:Snub_disphenoid.png|thumb|Das [[Trigondodekaeder]], ein Polyeder, das nur von regelmäßigen Dreiecken begrenzt ist.]]
Ein '''Raum''' ist in der [[Mathematik]] als [[Abstraktion|abstrakte]] Verallgemeinerung des uns gewohnten [[Anschauungsraum]]s als eine [[Menge (Mathematik)|Menge]] [[Mathematisches Objekt|mathematischer Objekte]] mit einer [[Mathematische Struktur|mathematischen Struktur]] definiert. Auf die Anschaulichkeit wird dabei verzichtet.
Ein (dreidimensionales) '''Polyeder''' [{{IPA|polyˈeːdər}}] (auch '''Vielflach''', '''Vielflächner''' oder '''Ebenflächner'''; von {{grcS|πολύς|polýs|variant=alt|label=griechisch}}, „viel“ und {{lang|grc|ἕδρα}} ''hedra'', „Sitz(fläche)“) ist ''im engeren Sinne'' eine Teilmenge des dreidimensionalen Raumes, welche ausschließlich von geraden Flächen (Ebenen) begrenzt wird, beispielsweise ein [[Würfel]] oder ein [[w:Oktant (Geometrie)|Oktant]] eines dreidimensionalen Koordinatensystems.  


== Beispiele für Polyeder ==
== Vektorraum ==
[[Datei:BluePlatonicDice.jpg|thumb|Die meisten Spielwürfel sind polyederförmig.]]
[[Datei:Kuppelgewaechshaus im Botanischen Garten in Duesseldorf-Bilk, von Westen.jpg|thumb|[[Kuppelgewächshaus]] im [[Botanischer Garten Düsseldorf|Botanischen Garten Düsseldorf]]]]
Beispiele für Polyeder aus dem Alltag – verstanden als [[Körper (Geometrie)|geometrische Körper]] – sind (in ihrer üblichen Bauweise) Schränke, [[Pyramide (Bauwerk)|Pyramiden]], Häuser, [[Kristall]]e,  [[Spielwürfel]] oder [[Geodätische Kuppel]]n. Keine Polyeder sind hingegen [[Kugel]]n, [[Kegel (Geometrie)|Kegel]], Flaschen, Tortenstücke, da sie gekrümmte Randflächen besitzen. Die wichtigsten Polyeder sind [[Würfel (Geometrie)|Würfel]], [[Quader]], [[Prisma (Geometrie)|Prismen]], [[Pyramide (Geometrie)|Pyramiden]] und [[Parallelepiped|Spate]] (Parallelepipede).


== Besondere dreidimensionale Polyeder ==
Ein '''Vektorraum''' besteht aus einer Menge von mathematischen Objekten, die '''Vektoren''' genannt werden und addiert oder mit einem [[Skalar]] (z.B. einer [[Zahl]]) multipliziert werden können, sodass der daraus resultierende Vektor wiederum ein Element desselben Vektorraums ist und die [[Assoziativgesetze]] und [[Distributivgesetze]] erfüllt sind. Als mathematische Objekte können dafür beispielsweise [[Reelle Zahlen|reelle]] oder [[komplexe Zahlen]], [[Zahlentupel]], [[Matrix (Mathematik)|Matrizen]] oder [[Funktion (Mathematik)|Funktionen]] verwendet werden.
Polyeder, wie sie uns im Alltag begegnen bzw. wie man sie von der Schulmathematik her kennt (vgl. vorhergehender Abschnitt), sind dreidimensional und beschränkt. Sie zählen damit zu den [[Körper (Geometrie)|geometrischen Körpern]]. Ein Polyeder heißt dabei dreidimensional, wenn er in keiner Ebene vollständig enthalten ist. Ein Polyeder heißt beschränkt, wenn es eine Kugel gibt, in der das Polyeder vollständig enthalten ist. Unbeschränkte Polyeder mit nur einer Ecke werden Polyederkegel genannt.
 
=== Konvexe Polyeder ===
[[Datei:Dodecahedron.gif|thumb|Das [[Dodekaeder]], ein platonischer Körper.]]
 
Häufig sind dreidimensionale Polyeder zudem [[Konvexe Menge|konvex]]. Ein Polyeder heißt konvex, wenn für je zwei Punkte des Polyeders die Verbindungsstrecke zwischen diesen Punkten vollständig im Polyeder liegt. Zum Beispiel ist das nebenstehende Dodekaeder konvex. Ein Beispiel eines nicht-konvexen Polyeders ist das unten gezeigte toroidale Polyeder.
 
=== Reguläre Polyeder ===
Bei Polyedern können verschiedene Arten von Regelmäßigkeiten auftreten. Die wichtigsten sind:
# Die Seitenflächen sind [[Regelmäßiges Polygon|regelmäßige Vielecke]].
# Alle Seitenflächen sind [[Kongruenz (Geometrie)|kongruent]].
# Alle Ecken sind gleichartig, das heißt, für je zwei Ecken <math>P,Q</math> kann man das Polyeder so drehen oder spiegeln, dass <math>P</math> in <math>Q</math> überführt wird und das neue Polyeder mit dem ursprünglichen zur Deckung kommt.
 
Polyeder, die alle 3 Bedingungen erfüllen, heißen ''reguläre Polyeder''.
 
=== Platonische, Archimedische, Catalanische und Johnson-Körper ===
Es gibt genau 5 konvexe Polyeder, die reguläre Polyeder sind (also alle drei Bedingungen erfüllen), die [[Platonischer Körper|platonischen Körper]].
 
Die konvexen Polyeder, die nur die erste und die dritte Bedingung erfüllen, sind (gewisse)  [[Prisma (Geometrie)|Prismen]], [[Antiprisma|Antiprismen]] sowie die  13 [[Archimedischer Körper|archimedischen Körper]].
 
Die konvexen Polyeder, die nur die zweite Bedingung erfüllen, sind die 13 [[Catalanischer Körper|catalanischen Körper]]. Genauer gesagt muss für diese die etwas stärkere Bedingung der Gleichartigkeit der Seiten (analog zu 3.) erfüllt sein.
 
Die konvexen Polyeder, die nur die erste Bedingung erfüllen, sind die 92 [[Johnson-Körper]].
<!--Einzelne Polyeder und Gruppen von Polyedern finden sich in der [[:Kategorie:Polyeder]].-->
 
=== Orthogonale Polyeder ===
Die Flächen eines orthogonalen Polyeders treffen sich im [[Rechter Winkel|rechten Winkel]]. Seine Kanten verlaufen parallel zu den Achsen eines [[Kartesisches Koordinatensystem|kartesischen Koordinatensystems]]. Mit Ausnahme des [[Quader|Quaders]] sind orthogonale Polyeder nicht konvex. Sie erweitern die zweidimensionalen [[Orthogonales Polygon|orthogonalen Polygone]] in die dritte Dimension. Orthogonale Polyeder kommen in der [[Algorithmische Geometrie|algorithmischen Geometrie]] zum Einsatz. Dort bietet ihre eingeschränkte Struktur Vorteile beim Bewältigen ansonsten ungelöster Probleme (beliebiger Polyeder). Ein Beispiel ist das Entfalten der Polyederflächen in ein polygonales Netz.
 
=== Chirale Polyeder {{Anker|Chirales Polyeder}} ===
'''Chirale Polyeder''' sind Vielflächner, die nicht mit ihrem Spiegelbild übereinstimmen. Beispiele in drei Dimensionen sind der [[Abgeschrägter Würfel| abgeschrägte Würfel]] und das schiefe [[Dekaeder]]. Sie weisen [[Chiralität (Chemie)|Händigkeit]] auf, das heißt, sie besitzen eine rechtshändige und eine linkshändige Variante, die durch Spiegelung aufeinander abgebildet werden können.<ref>{{Literatur | Autor=Edward S. Popko | Titel=Divided Spheres: Geodesics and the Orderly Subdivision of the Sphere | Verlag=CRC Press | Jahr=2012 | ISBN=9781466504295 | Online={{Google Buch | BuchID=WLAFlr1_2S4C | Seite=170 }}}}</ref>
 
== Eulerscher Polyedersatz und Euler-Charakteristik ==
{{Hauptartikel|Eulerscher Polyedersatz|Euler-Charakteristik}}
Für [[Konvexe Menge|konvexe]] und beschränkte Polyeder gilt der eulersche Polyedersatz:
:<math>E + F - K = 2.</math>
Dabei ist <math>E</math> die Anzahl der Ecken, <math>F</math> die Anzahl der Flächen und <math>K</math> die Anzahl der Kanten.
 
[[Datei:Toroidal polyhedron.gif|thumb|Ein toroidales Polyeder, zusammengesetzt aus 48 gleichseitigen Dreiecken]]
Die Bedingung „konvex“ ist wesentlich. Beispiel: Die Punkte des dreidimensionalen Raumes mit den (rechtwinkligen kartesischen) Koordinaten (x,y,z), wobei der Absolutbetrag von x, y und z jeweils kleiner oder gleich 2 ist, bilden einen Würfel der Kantenlänge 4. Wenn wir aus ihm die Punkte entfernen, deren Koordinaten alle vom Betrag <1 sind, entsteht ein nichtkonvexer Polyeder, nämlich ein Würfel, aus dessen Innerem ein kleinerer Würfel ausgebohrt ist, mit 16 Ecken, 24 Kanten und 12 Flächen, in dem der eulersche Polyedersatz nicht gilt.
 
Für [[Zusammenhängender Raum|zusammenhängende]] Polyeder (zu denen das obige Beispiel nicht gehört) gilt allgemein
:<math>E + F - K = \chi</math>
mit der Euler-Charakteristik <math>\chi</math>. Für einen [[Torus]] zum Beispiel ist <math>\chi=0</math>. Das rechts abgebildete Polyeder ist ein Beispiel dafür. Es hat 24 Ecken, 72 Kanten und 48 Flächen: <math>E - K + F = 24-72+48 = 0</math>.
 
== Benennung ==
Polyeder werden allgemein nach der Anzahl der begrenzenden Flächen klassifiziert.
 
{| class="wikitable" valign="top"
! Flächenzahl
! Name
! Beispiel
! Bild
|-
|  4 || Tetraeder || = Dreieckpyramide || [[Datei:Tetrahedron.svg|100x100px]]
|-
|  5 || Pentaeder || [[Quadratpyramide]] || [[Datei:Square pyramid.png|100x100px]]
|-
|  6 || Hexaeder  || [[Würfel]] || [[Datei:Hexahedron.jpg|100x100px]]
|-
|  7 || Heptaeder || verlängerte Dreieckpyramide || [[Datei:Elongated triangular pyramid.png|100x100px]]
|-
|  8 || Oktaeder  || [[Rhomboederstumpf]] || [[Datei:Triangular truncated trapezohedron.png|100x100px]]
|-
|  9 || [[Enneaeder]]    || verlängerte Quadratpyramide ||  [[Datei:Elongated square pyramid.png|100x100px]]
|-
| 10 || [[Dekaeder]]      || Fünfeck-Bipyramide ||  [[Datei:Pentagon Dipyramid (Decahedron).svg|100x100px]]
|-
| 11 || [[Hendekaeder]]   ||  || [[Datei:Bisymmetric Hendecahedron.svg|100x100px]]
|-
| 12 || [[Dodekaeder]]    || regelmäßiges [[Dodekaeder]] ||  [[Datei:Dodecahedron.svg|100x100px]]
|-
| 13 || [[Tridekaeder]]  || verdreht verlängerte Quadratpyramide || [[Datei:Gyroelongated square pyramid.png|100x100px]]
|-
| 14 || [[Tetradekaeder]] || [[Disheptaeder]] ||  [[Datei:Triangular orthobicupola.png|100x100px]]
|-
| 15 || [[Pentadekaeder]] || verlängerte Fünfecksbipyramide ||  [[Datei:Elongated pentagonal dipyramid.png|100x100px]]
|-
| 16 || [[Hexadekaeder]]  || zweifach erweitertes [[Antiprisma]] ||  [[Datei:Gyroelongated square dipyramid.png|100x100px]]
|-
| 17 || [[Heptadekaeder]] || erweiterte Sphenocorona  ||  [[Datei:Augmented sphenocorona.png|100x100px]]
|-
| 18 || [[Oktadekaeder]]  || Quadratdoppelkuppel || [[Datei:Square orthobicupola.png|100x100px]]
|-
| 19 || [[Enneadekaeder]] ||  || <!--  kein Beispiel gefunden --->
|-
| 20 || [[Ikosaeder]] || regelmäßiges [[Ikosaeder]] || [[Datei:Icosahedron.jpg|100x100px]]
|-
| 22 || [[Ikosidiploeder]] || verlängerte Fünfeckskuppel  || [[Datei:Elongated pentagonal cupola.svg|100x100px]]
|-
| 24 || [[Ikositetraeder]] || [[Deltoidalikositetraeder]] || [[Datei:Deltoidalicositetrahedron.jpg|100x100px]]
|-
| 30 || [[Triacontaeder]] || doppelt erweitertes abgestumpftes Hexaeder ||  [[Datei:Biaugmented truncated cube.png|100x100px]]
|-
| 32 || [[Triacontadiploeder]] || [[Ikosaederstumpf]] ||  [[Datei:Truncatedicosahedron.jpg|100x100px]]
|-
| rowspan="2"| 60
| rowspan="2"|[[Hexakontaeder]]
| doppelt erweitertes abgestumpftes Hexaeder
|  [[Datei:Biaugmented truncated cube.png|100x100px]]
|-
| [[Pentagonhexakontaeder]] || [[Datei:Pentagonalhexecontahedronccw.jpg|100x100px]]
|}
 
== Verallgemeinerungen ==
Vielfach wird neben dem Begriff des [[Polytop (Geometrie)|Polytops]] auch der Begriff „Polyeder“ für nicht notwendigerweise dreidimensionale Räume verwendet.
* Vor allem in der [[Topologie (Mathematik)|Topologie]] nennt man eine Teilmenge des <math> \R^n</math> ein '''Polyeder''', wenn sie '''triangulierbar''' ist, wenn sie also als [[Vereinigungsmenge|Vereinigung]] der [[Simplex (Mathematik)|Simplexe]] eines ''[[Simplex (Mathematik)#Euklidischer simplizialer Komplex|simplizialen Komplexes]]'' <math>\mathcal{K} \subseteq 2^{\R^n}</math> gebildet werden kann.<ref>{{Literatur|Autor=[[Egbert Harzheim]]|Titel=Einführung in die Kombinatorische Topologie|Reihe=DIE MATHEMATIK. Einführungen in Gegenstand und Ergebnisse ihrer Teilgebiete und Nachbarwissenschaften|Verlag=[[Wissenschaftliche Buchgesellschaft]]|Ort=Darmstadt|Jahr=1978|ISBN=3-534-07016-X|Seiten=34|Online=[http://www.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Harzheim%2C%20Egbert&s5=&s6=&s7=&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=24&mx-pid=533264 MR0533264] }}</ref><ref>{{Literatur|Autor=[[John M. Lee (Mathematiker)|John M. Lee]]|Titel=Introduction to Topological Manifolds (Graduate Texts in Mathematics 202)|Verlag=Springer|Ort=New York [u. a.]|Jahr=2000|ISBN=0-387-98759-2|Seiten=149}}</ref> Das [[homöomorph]]e [[Bildmenge|Bild]] eines solchen allgemeinen '''Polyeders''' bezeichnet man als '''krummes Polyeder''' und die Bilder der beteiligten Simplexe als '''krumme Simplexe'''.<ref>{{Literatur|Autor=[[Egbert Harzheim]]|Titel=Einführung in die Kombinatorische Topologie|Reihe=DIE MATHEMATIK. Einführungen in Gegenstand und Ergebnisse ihrer Teilgebiete und Nachbarwissenschaften|Verlag=[[Wissenschaftliche Buchgesellschaft]]|Ort=Darmstadt|Jahr=1978|ISBN=3-534-07016-X|Seiten=35|Online=[http://www.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Harzheim%2C%20Egbert&s5=&s6=&s7=&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=24&mx-pid=533264 MR0533264] }}</ref>
* In der [[Lineare Optimierung|linearen Optimierung]] ist ein (konvexes) Polyeder im <math> \R^n </math> definiert als der Schnitt von endlich vielen [[Halbraum|Halbräumen]].<ref>{{Literatur|Titel=Einführung in die Mathematische Optimierung|Autor=Rainer E. Burkhard, Uwe T. Zimmermann|ISBN=9783642286735|Reihe=Springer-Lehrbuch|Jahr=2013|Verlag=Springer|Ort=Berlin/Heidelberg|Seiten=19}}</ref> Nach dieser Definition ist ein Polyeder nicht notwendigerweise beschränkt. Ein beschränktes nichtleeres Polyeder wird dann als Polytop bezeichnet. Nach dem [[Zerlegungssatz für konvexe Polyeder]] ist eine Teilmenge des <math> \R^n </math> genau dann ein Polyeder, wenn sie sich als Summe eines konvexen Polytops und eines (konvexen) polyedrischen Kegels darstellen lässt.


== Siehe auch ==
== Siehe auch ==
* {{WikipediaDE|Kategorie:Polyeder}}
* {{WikipediaDE|Plyeder}}
== Weblinks ==
{{Commons|Polyhedra|Polyeder}}
{{Wiktionary}}
* [http://www.polyedergarten.de/index.htm Polyedergarten] Bilder, Animationen, VRML-3D-Modelle; mit ästhetischem Anspruch
* [http://www.brefeld.homepage.t-online.de/polyeder.html Formeln für reguläre und semireguläre Polyeder]
* [http://www.korthalsaltes.com/index.html Paper Models of Polyhedra] Schablonen zum Basteln von Polyedern
* [http://www.hbmeyer.de/flechten/index.html Polyeder aus Flechtstreifen] Polyedermodelle durch Verflechten von Papierstreifen ohne Klebstoff herstellen
== Einzelnachweise ==
<references />
{{Normdaten|TYP=s|GND=4132101-7}}


[[Kategorie:Raumgeometrie|B]]
* {{WikipediaDE|Raum (Mathematik)}}
[[Kategorie:Polyeder|!]]


{{Wikipedia}}
[[Kategorie:Mathematik]] [[Kategorie:Geometrie]]

Version vom 16. April 2018, 14:33 Uhr

Ein Raum ist in der Mathematik als abstrakte Verallgemeinerung des uns gewohnten Anschauungsraums als eine Menge mathematischer Objekte mit einer mathematischen Struktur definiert. Auf die Anschaulichkeit wird dabei verzichtet.

Vektorraum

Ein Vektorraum besteht aus einer Menge von mathematischen Objekten, die Vektoren genannt werden und addiert oder mit einem Skalar (z.B. einer Zahl) multipliziert werden können, sodass der daraus resultierende Vektor wiederum ein Element desselben Vektorraums ist und die Assoziativgesetze und Distributivgesetze erfüllt sind. Als mathematische Objekte können dafür beispielsweise reelle oder komplexe Zahlen, Zahlentupel, Matrizen oder Funktionen verwendet werden.

Siehe auch