Polytop (Geometrie) und Hajo Banzhaf: Unterschied zwischen den Seiten

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'''Hajo Banzhaf''' (* [[15. Mai]] [[1949]] in [[Gütersloh]]; † [[11. Februar]] [[2009]] in [[München]]) war ein deutscher [[Astrologie|Astrologe]], [[Autor|Buchautor]] und [[Herausgeber]] auf dem Gebiet der [[Esoterik]], insbesondere zum [[Tarot]].<ref>Biographische Daten von Hajo Banzhaf in: ''Du bist alles, was mir fehlt. Suchbild und Selbstbild im Horoskop'' (mit Brigitte Theler). 254 Seiten. Hugendubel, München 1996, ISBN 978-3-442-21878-3. Seite 254</ref>
'''Polytop''' bezeichnet in der [[Geometrie]] ein verallgemeinertes [[Polygon]] in beliebiger Dimension. Man spricht von ''k''-Polytopen, wobei ''k'' die Dimension ist.  


== Definition ==
== Leben und Werk ==
Hajo Banzhaf studierte nach dem Abitur [[Sprachwissenschaft]] in [[Frankreich]] und später [[Philosophie]] an der [[Westfälische Wilhelms-Universität|Westfälischen Wilhelms-Universität]] in [[Münster]]. Nach einer zwölfjährigen Laufbahn in einer Münchner Privatbank arbeitete er ab 1985 als freiberuflicher Buchautor, Astrologe und Seminarleiter. Zwischen 1992 und 2000 war er als Herausgeber der Reihe ''Kailash Buch'' im [[Hugendubel]]-Verlag tätig. Er verfasste zahlreiche Bücher zu den Themen Astrologie und Tarot, von denen ''Das Arbeitsbuch zum Tarot'' (1988) in zwanzig verschiedenen Sprachen erschienen ist. Mit seiner Frau [[Brigitte Theler]] (1959–2007) lebte und arbeitete er in München. Gemeinsam mit ihr gründete er 2003 den Tarot e.V. – den Tarotverband für den deutschsprachigen Raum.


Ein 0-Polytop ist eine einzelne Ecke (ein Punkt); ein 1-Polytop besteht aus zwei Ecken, die durch eine Kante verbunden sind; ein 2-Polytop besteht aus mehreren, jeweils an einer Ecke verbundenen, einen Zyklus bildenden 1-Polytopen und stellt somit ein [[Polygon]] dar; ein 3-Polytop besteht wiederum aus mehreren an den Kanten verbundenen 2-Polytopen und stellt somit ein [[Polyeder]] dar; usw. Allgemein wird ein <math>(k+1)</math>-Polytop gebildet aus mehreren <math>k</math>-Polytopen, die untereinander jeweils ein <math>(k-1)</math>-Polytop gemeinsam haben können (wie die gemeinsame Ecke zweier Kanten oder die gemeinsame Kante zweier Flächen). Des Weiteren müssen alle <math>(k-1)</math>-Unterpolytope in genau zwei <math>k</math>-Polytopen enthalten sein, und zwischen zwei <math>k</math>-Unterpolytopen muss eine Reihe von <math>k</math>-Unterpolytopen existieren, so dass jeweils zwei benachbarte Glieder auf die zuvor beschriebene Weise verbunden sind – so bilden etwa nach dieser Definition mehrere disjunkte Polygone zusammen kein 2-Polytop.
Hajo Banzhaf starb im 60. Lebensjahr an einer [[Lungenembolie]].


== Nomenklatur ==
== Bücher ==
* ''Das Tarot-Handbuch''. Hugendubel, München 1986; Goldmann, München 1998, ISBN 3-442-21503-X.
* ''Das Arbeitsbuch zum Tarot''. Diederichs, München 1988; Hugendubel, München 2003, ISBN 3-7205-2424-8, ISBN 978-3-7205-2846-7 (inkl. Kartenset)
* ''Tarot-Spiele. Methodik – Legesysteme – Deutungsbeispiele''. Hugendubel, München 1988; Kailash, München 2009, ISBN 978-3-424-63002-2.
* ''Schlüsselworte zum Tarot''. Goldmann, München 1990, ISBN 3-442-12077-2, ISBN 3-442-12126-4 (inkl. Kartenset)
* ''Tarot als Wegbegleiter'' (mit Elisa Hemmerlein). Hugendubel, München 1993; Goldmann, München 1999, ISBN 3-442-21501-3.
* ''Schlüsselworte zur Astrologie'' (mit Anna Haebler). Hugendubel, München 1994; ebd. 2008, ISBN 978-3-7205-6041-2.
* ''Die [[Vier-Elemente-Lehre|vier Elemente]] in Astrologie und Tarot'' (mit Markus Becker). Goldmann, München 1994; ebd. 2000 (als ''Der Mensch in seinen Elementen''), ISBN 3-442-12216-3.
* ''Du bist alles, was mir fehlt. Suchbild und Selbstbild im Horoskop'' (mit Brigitte Theler). Hugendubel, München 1996; Goldmann, München 2009, ISBN 978-3-442-21878-3.
* ''Schlüsselworte zum [[Aleister Crowley|Crowley]]-Tarot'' (mit Brigitte Theler). Hugendubel, München 1998; Goldmann, München 1999, ISBN 3-442-21524-2.
* ''Das Tarotbuch''. Goldmann, München 2001, ISBN 3-442-33646-5, ISBN 3-442-33649-X (inkl. Kartenset)
* ''Tarot. Weisheiten für jeden Tag''. Integral, München 2003, ISBN 3-7787-9112-5.
* ''Der Crowley-Tarot'' (mit [[Akron (Okkultist)|Akron]]). Hugendubel, München 2004, ISBN 3-7205-2514-7, ISBN 3-7205-2515-5 (mit Crowley-Tarot-Deck)
* ''Tarot und der Lebensweg des Menschen''. Hugendubel, München 2005, ISBN 3-7205-2705-0.
* ''Gut beraten mit Tarot''. Goldmann, München 2005, ISBN 3-442-33744-5, ISBN 3-442-33748-8 (inkl. Kartenset)
* ''Der Universal-[[Waite Tarot|Waite-Tarot]]'' (inkl. Kartenset). Urania, Neuhausen 2005, ISBN 3-03819-006-3.
* ''Symbolik und Bedeutung der Zahlen''. Goldmann, München 2006, ISBN 3-442-33760-7.
* ''Universal Waite – ganz einfach'' (inkl. Kartenset). Urania, Neuhausen 2007, ISBN 978-3-03819-310-4.
* ''Geschichten vom Firmament. Ein Lesebuch der Sternenwelt''. Kailash, München 2007, ISBN 978-3-7205-6025-2.
* ''Tarot für Anfänger. Grundlagen – Legemuster – Deutungen''. [[Königsfurt-Urania]], Krummwisch 2008; erw. A. ebd. 2010, ISBN 978-3-86826-528-6.
* ''Der verborgene Blick. Neue Perspektiven mit dem Vice-Versa-Tarot'' (mit Susanne Zitzl). Kailash, München 2009, ISBN 978-3-424-63001-5.
* ''Zwischen Himmel und Erde. Quintessenz aus Esoterik, Astrologie und Tarot''. Königsfurt-Urania, Krummwisch 2009, ISBN 978-3-86826-522-4.


In gewissen Dimensionen haben Polytope spezielle Namen erhalten, wie sie in folgender Tabelle aufgelistet sind:
== Siehe auch ==
{| class="wikitable" style="text-align:center"
* {{WikipediaDE|Hajo Banzhaf}}
! Dimension
! Name des ''d''-Polytops
|-
| 0
| [[Punkt (Geometrie)|Punkt]]
|-
| 1
| [[Strecke (Geometrie)|Strecke]]
|-
| 2
| [[Polygon]]
|-
| 3
| [[Polyeder]]
|-
| 4
| [[Polychor]]
|}
 
Betrachtet man ein Polytop der Dimension ''d'', dann existieren folgende Bezeichnungen:
{| class="wikitable" style="text-align:center"
! Dimension
! Name des Unterpolytops
|-
| ''0''
| [[Ecke]]
|-
| ''1''
| Kante
|-
| ''d − 3''
| <small>engl.: {{lang|en|peak}} (etwa: „Spitze“)</small>
|-
|''d − 2''
| |Grat (z.&nbsp;B. Ecke eines Polygons (''d = 2''), Kante eines Tetraeders (''d = 3''), …)
|-
|''d − 1''
| Facette (z.&nbsp;B. Kante eines Polygons (''d = 2''), Seitenfläche eines Würfels (''d = 3''), …)
|-
|''d''
| <small>engl.: {{lang|en|body}} (etwa: „Rumpf“)</small>
|}
 
Die [[Dimension (Mathematik)|Dimension]] eines Polytops <math>P</math> ist dabei definiert als die Dimension seiner [[Affine Hülle|affinen Hülle]], also des kleinsten [[Affiner Raum|affinen Raums]], der <math>P</math> enthält. Ein Würfel ist also dreidimensional, weil der kleinste Raum, der ihn enthält, dreidimensional ist. Ein ''eigentliches'' Polytop ist ein Polytop, das nicht ganz in einem echten Unterraum liegt, also dieselbe Dimension wie der betrachtete Raum hat.
 
== Konvexe Polytope ==
 
Eine besondere Bedeutung in der Mathematik und der [[Lineare Optimierung|linearen Optimierung]] haben [[Konvexe Menge|konvexe]] Polytope (oft auch nur ''Polytop''), also Polytope, sodass die Verbindungsstrecke zwischen zwei beliebigen Punkten des Polytops wiederum komplett im Polytop enthalten ist. Dies sind genau die beschränkten [[Polyeder#Verallgemeinerungen|konvexen Polyeder]]. Äquivalent dazu lassen sie sich als die [[konvexe Hülle]] endlich vieler Punkte (etwa der Eckpunkte) definieren.
 
Jedes eigentliche Polytop zerlegt den Raum in sein Inneres, sein Äußeres und seinen Rand. Jede Strecke, die einen inneren und einen äußeren Punkt verbindet, schneidet den Rand in genau einem Punkt. Der Durchschnitt zweier eigentlicher Polytope mit einem gemeinsamen inneren Punkt ist wieder ein eigentliches Polytop. Durch Induktion folgt dasselbe für endlich viele eigentliche Polytope mit einem gemeinsamen inneren Punkt.


Jeder ''Facette'' (Endpunkt für Strecken, Kante für Polygone etc.) eines Polytops lässt sich ein [[Halbraum]] zuordnen, auf dessen Rand die Facette liegt und der das Polytop enthält. Man stelle sich dazu den Teil des Raumes vor, der auf der dem Polytop zugewandten Seite der Seitenfläche liegt. Ein solcher Halbraum lässt sich als die Menge der Punkte auffassen, die eine lineare Ungleichung in ihren [[Kartesische Koordinaten|kartesischen Koordinaten]] erfüllen. Der Schnitt all der Halbräume zu jeder der Facetten ist wiederum das Polytop. Somit lässt sich jedes konvexe Polytop als Lösungsmenge eines [[Lineares Ungleichungssystem|linearen Ungleichungssystems]] in endlich vielen Variablen auffassen. Insofern die Lösungsmenge eines linearen Ungleichungssystems beschränkt ist (d.&nbsp;h. der Abstand aller Punkte voneinander beschränkt ist), gilt auch die Umkehrung.
== Weblinks ==
 
* {{DNB-Portal|115478582}}
Ist
* [http://www.tarot.de/hajo/ Gedenkseite für Hajo Banzhaf]
:<math>a^T x \leq b</math>
* [http://www.tarotverband.de Homepage des Tarot e.V.]
eine lineare Ungleichung, die von allen Punkten des Polytop erfüllt wird, dann wird der Schnitt des Polytops mit der Menge
:<math>\{x | a^T x = b \}</math>
als ''Seitenfläche'' bezeichnet. Jede Seitenfläche lässt sich durch eine solche Ungleichung darstellen. Im Spezialfall der Ungleichung
:<math>0^T x \leq 0</math>
ergibt sich als Schnitt das ganze Polytop, und für die Ungleichung
:<math>0^T x \leq 1</math>
ist der Schnitt
:<math>\{x | 0^T x = 1 \} \cap P = \{x | 0^T x = 1 \} = \varnothing</math>
die leere Menge. Die Menge aller Seitenflächen eines Polytops ist bzgl. Inklusion [[Ordnungsrelation#Verbandsordnung|verbandsgeordnet]]. Eine Facette eines <math>n</math>-dimensionalen konvexen Polytops ist dann eine <math>(n-1)</math>-dimensionale Seitenfläche. Bei einem dreidimensionalen Würfel sind beispielsweise alle Ecken, Kanten und Flächen des Würfels „Seitenflächen“, aber auch die leere Menge und der ganze Würfel. Aber nur die zweidimensionalen Seitenflächen sind Facetten des Würfels.
 
Eine [[Ecke]] eines konvexen Polytops ist ein Punkt im Polytop, der sich nicht durch andere Punkte des Polytops [[Konvexkombination|konvex kombinieren]] lässt, der also nicht auf einer Strecke zwischen zwei anderen Punkten des Polytops liegt. Dies entspricht der anschaulichen Vorstellung einer Ecke. Beispielsweise lässt sich keine Strecke zwischen zwei Punkten eines Würfels konstruieren, die eine Ecke als inneren Punkt enthält. Eine Ecke <math>x</math> eines Polytops <math>P</math> heißt ''entartet'', wenn die Anzahl der Facetten, die <math>x</math> enthalten, größer ist als die Dimension von <math>P</math>. Beispielsweise ist die Spitze einer dreidimensionalen Pyramide mit quadratischer Grundfläche entartet, weil sie in vier Facetten enthalten ist. Ein konvexes Polytop heißt ''ganzzahlig'', wenn alle seine Ecken durch ganzzahlige Koordinaten beschrieben werden. Diese Begriffe sind unter anderem in der [[Lineare Optimierung|linearen]] und [[Ganzzahlige lineare Optimierung|ganzzahligen linearen Optimierung]] von Bedeutung, weil das [[Optimum]] eines linearen Programms stets auch in einer Ecke angenommen wird.
 
== Siehe auch ==
* {{WikipediaDE|Polytop (Geometrie)}}


== Literatur ==
== Einzelnachweise ==
* {{Literatur
<references />
  |Autor=Harold Scott MacDonald Coxeter
  |Titel=Regular Polytopes
  |Auflage=3.
  |Verlag=Dover Publications
  |Datum=1973
  |ISBN=0-486-61480-8}}
* {{Literatur
  |Autor=Günter M. Ziegler
  |Titel=Lectures on Polytopes
  |Reihe=Graduate Texts in Mathematics
  |NummerReihe=152
  |Verlag=Springer Verlag
  |Datum=1995
  |ISBN=0-387-94365-X}}
* {{Literatur
  |Autor=Branko Grünbaum
  |Hrsg=Volker Kaibel, Victor Klee, Günter M. Ziegler
  |Titel=Convex Polytopes
  |Auflage=2.
  |Verlag=Springer-Verlag
  |Datum=2003
  |ISBN=0-387-00424-6
  |JahrEA=1967}}


{{Normdaten|TYP=s|GND=4175324-0}}
{{Normdaten|TYP=p|GND=115478582|LCCN=n/96/59246|VIAF=49955479}}


[[Kategorie:Polytop|!]]
{{SORTIERUNG:Banzhaf, Hajo}}
[[Kategorie:Astrologe (20. Jahrhundert)]]
[[Kategorie:Autor (Esoterik)]]
[[Kategorie:Tarot (Person)]]
[[Kategorie:Esoteriker]]
[[Kategorie:Deutscher]]
[[Kategorie:Geboren 1949]]
[[Kategorie:Gestorben 2009]]
[[Kategorie:Mann]]


{{Wikipedia}}
{{Wikipedia}}

Version vom 7. August 2019, 16:15 Uhr

Hajo Banzhaf (* 15. Mai 1949 in Gütersloh; † 11. Februar 2009 in München) war ein deutscher Astrologe, Buchautor und Herausgeber auf dem Gebiet der Esoterik, insbesondere zum Tarot.[1]

Leben und Werk

Hajo Banzhaf studierte nach dem Abitur Sprachwissenschaft in Frankreich und später Philosophie an der Westfälischen Wilhelms-Universität in Münster. Nach einer zwölfjährigen Laufbahn in einer Münchner Privatbank arbeitete er ab 1985 als freiberuflicher Buchautor, Astrologe und Seminarleiter. Zwischen 1992 und 2000 war er als Herausgeber der Reihe Kailash Buch im Hugendubel-Verlag tätig. Er verfasste zahlreiche Bücher zu den Themen Astrologie und Tarot, von denen Das Arbeitsbuch zum Tarot (1988) in zwanzig verschiedenen Sprachen erschienen ist. Mit seiner Frau Brigitte Theler (1959–2007) lebte und arbeitete er in München. Gemeinsam mit ihr gründete er 2003 den Tarot e.V. – den Tarotverband für den deutschsprachigen Raum.

Hajo Banzhaf starb im 60. Lebensjahr an einer Lungenembolie.

Bücher

Siehe auch

Weblinks

Einzelnachweise

  1. ↑ Biographische Daten von Hajo Banzhaf in: Du bist alles, was mir fehlt. Suchbild und Selbstbild im Horoskop (mit Brigitte Theler). 254 Seiten. Hugendubel, München 1996, ISBN 978-3-442-21878-3. Seite 254


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