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Die '''Philosophie der Mathematik''' ist ein Bereich der [[Theoretische Philosophie|theoretischen Philosophie]], der anstrebt, Voraussetzungen, Gegenstand, Methode und Natur der [[Mathematik]] zu verstehen und zu erklären.
[[Rudolf Steiner]], Zweite Studie des Christuskopfes für die Statue des [[Menschheitsrepräsentant]]en, Ostern 1915
 
== Ausgangspunkt ==
 
Systematisch grundlegend sind dabei Fragen nach
# der Seinsweise der mathematischen Objekte: Existieren diese „wirklich“ und unabhängig von einer konkreten Verwendung, und wenn ja, in welchem Sinne? Was heißt es überhaupt, sich auf ein mathematisches Objekt zu beziehen? Welchen Charakter haben mathematische Sätze? Welche Beziehungen bestehen zwischen [[Logik]] und Mathematik? – Es handelt sich hierbei um [[Ontologie|ontologische Fragen]].
# dem Ursprung des mathematischen [[Wissen]]s: Was ist Quelle und Wesen der mathematischen [[Wahrheit]]? Welches sind die Bedingungen der mathematischen Wissenschaft? Welches sind grundsätzlich ihre Forschungsmethoden? Welche Rolle spielt dabei die Natur des Menschen? – Dies sind [[Erkenntnistheorie|epistemologische Fragen]].
# dem Verhältnis von Mathematik und [[Realität]]: Welche Beziehung besteht zwischen der abstrakten Welt der Mathematik und dem materiellen Universum? Ist Mathematik in der [[Empirie|Erfahrung]] verankert, und wenn ja, wie? Wie kommt es, dass Mathematik ''„auf die Gegenstände der Wirklichkeit so vortrefflich passt“ ([[Albert Einstein]])''? In welcher Weise erlangen Konzepte wie [[Zahl]], [[Punkt (Geometrie)|Punkt]], [[Unendlichkeit]] ihre über den innermathematischen Bereich hinausreichende Bedeutung?
 
Ausgangspunkt ist fast durchgehend die Auffassung, dass mathematische Sätze [[Apodiktische Aussage|apodiktisch]] gewiss, zeitlos und exakt sind und ihre Richtigkeit weder von [[Empirie|empirischen]] Ergebnissen noch von [[Person|persönlichen]] Ansichten abhängt. Aufgabe ist es, die Bedingungen der Möglichkeit solcher Erkenntnis zu ermitteln, wie auch diesen Ausgangspunkt zu hinterfragen.
 
== Realismus, Platonismus, Materialismus ==
Eine unter Mathematikern verbreitete Position ist der [[Realismus (Philosophie)|Realismus]], vertreten u.&nbsp;a. durch [[Kurt Gödel]] und [[Paul Erdős]]. Mathematische Gegenstände (Zahlen, [[geometrische Figur]]en, Strukturen) und Gesetze sind keine Konzepte, die im Kopf des Mathematikers entstehen, sondern es wird ihnen eine vom menschlichen Denken unabhängige [[Existenz]] zugesprochen, wie [[Friedrich Engels]] im [[Anti-Dühring]] betont. Mathematik wird folglich nicht [[Erfindung|erfunden]], sondern entdeckt. Durch diese Auffassung wird dem objektiven, also [[Intersubjektivität|interpersonellen]] Charakter der Mathematik entsprochen. Dieser [[ontologisch]]e Realismus ist [[Materialismus|materialistische]] Philosophie.<ref>Karl Marx/ Friedrich Engels – Werke. (Karl) Dietz Verlag, Berlin. Band 20. Berlin/DDR. 1962. »Herrn Eugen Dührung's Umwälzung der Wissenschaft«, III. Einteilung. Apriorismus</ref><ref>[http://www.mlwerke.de/me/me20/me20_016.htm mlwerke.de]</ref>
 
Die klassische Form des Realismus ist der [[Platonismus]], dem zufolge die mathematischen Gegenstände und [[Satz (Mathematik)|Sätze]] losgelöst von der materiellen Welt und unabhängig von Raum und Zeit existieren, zusammen mit den anderen [[Ideenlehre|Ideen]] wie dem „Guten“, dem „[[Schönheit|Schönen]]“, oder dem „Göttlichen“. Das Hauptproblem des Platonismus in der Philosophie der Mathematik ist die Frage, auf welche Weise wir als begrenzte Wesen die mathematischen Objekte und Wahrheiten erkennen können, wenn sie in diesem „Ideenhimmel“ beheimatet sind.
Laut Gödel leistet dies eine mathematische [[Intuition]], die, ähnlich einem [[Sinnesorgan]], uns Menschen Teile dieser anderen Welt wahrnehmen lässt. Derartige rationale Intuitionen werden auch von den meisten Klassikern des [[Rationalismus]] und in jüngeren Debatten um [[Rechtfertigung (Philosophie)|Rechtfertigung]] oder Wissen [[a priori]] u.&nbsp;a. von [[Laurence Bonjour]] verteidigt.<ref>Vgl. In Defense of Pure Reason, A Rationalist Account of A Priori Justification, 1998, ISBN 978-0-521-59236-9 und mit direktem Bezug zur Philosophie der Mathematik beispielsweise Hartry Field: [http://as.nyu.edu/docs/IO/1158/RecentDebates.pdf Recent Debates About the A Priori] (mit weiterer Literatur; PDF; 128&nbsp;kB).</ref>
 
[[Aristoteles]] behandelt seine Philosophie der Mathematik in den Büchern XIII und XIV der ''[[Metaphysik]]''. Er kritisiert hier und vielerorts den [[Platonismus]].
 
== Logizismus ==
Der [[Logizismus]] wurde unter anderem von [[Gottlob Frege]], [[Bertrand Russell]] und [[Rudolf Carnap]] begründet. Nach dieser These lässt sich die Mathematik vollständig auf die [[formale Logik]] zurückführen und ist folglich auch als ein Teil der [[Logik]] zu verstehen. Logizisten vertreten die Ansicht, dass mathematische Erkenntnis [[a priori]] gültig ist. Mathematische Konzepte sind abgeleitet von logischen Konzepten, mathematische Sätze folgen direkt aus den [[Axiom]]en der reinen Logik.
 
[[Gottlob Frege]], der als einer der großen Denker des 20. Jahrhunderts gilt,<!-- obwohl seine Hauptwerke alle vor oder kurz nach der Jahrhundertwerke erschienen und er seit den 20ern für 40 Jahre lediglich von Carnap rezipiert wurde --> führte in seinen ''Grundgesetzen der Arithmetik'' das Gesetzesgebäude des Zahlenrechnens auf logische Prinzipien zurück. Freges Konstruktion erwies sich aber noch vor seiner vollständigen Veröffentlichung als brüchig, nachdem Russell mit seiner berühmten [[Russellsche Antinomie|Antinomie]] zeigte, dass Zirkelschlüsse und Widersprüche seinem auf formale Logik gegründeten mathematischen Gebäude das Fundament nahmen. Russell teilte dies Frege in einem Brief mit, worauf dieser in eine tiefe persönliche Krise geriet. Später konnten mit komplizierteren Axiomensystemen die Widersprüche vermieden werden, so dass die Mengenlehre und insbesondere die Theorie der [[Natürliche Zahl|Natürlichen Zahlen]] widerspruchslos begründet werden konnten.
 
Kritisiert wird <!-- von wem? belege... --> am Logizismus vor allem, dass er die Grundprobleme der Mathematik nicht löst, sondern lediglich auf Grundlagenprobleme der Logik schiebt und somit keine befriedigenden Antworten gibt.
 
== Formalismus, Deduktivismus ==
Der [[Formalismus (Mathematik)|Formalismus]] versteht die Mathematik ähnlich einem Spiel, das auf einem gewissen Regelwerk beruht, mit dem [[Zeichenkette]]n ''(engl. strings)'' manipuliert werden. Zum Beispiel wird in dem Spiel „[[Euklidische Geometrie]]“ der [[Satz des Pythagoras]] gewonnen, indem gewisse Zeichenfolgen (die ''Axiome'') mit gewissen Regeln (denen des logischen Schlussfolgerns) wie Bausteine zusammengefügt werden. Mathematische Aussagen verlieren damit den Charakter von Wahrheiten (etwa über geometrische Figuren oder Zahlen), sie sind letztlich gar keine Aussagen mehr „über irgendetwas“.
 
Als ''Deduktivismus'' wird oft eine Variante des Formalismus bezeichnet, in der z.&nbsp;B. der Satz des Pythagoras keine absolute Wahrheit mehr darstellt, sondern nur eine ''relative'': Wenn man den Zeichenfolgen in einer Weise Bedeutungen zuweist, so dass die [[Axiom]]e und die Schlussregeln wahr sind, dann muss man die Folgerungen, z.&nbsp;B. den Satz des Pythagoras, als wahr ansehen. So gesehen muss der Formalismus kein bedeutungsloses symbolisches Spiel bleiben. Der Mathematiker darf vielmehr hoffen, dass es eine Interpretation der Zeichenfolgen gibt, die ihm z.&nbsp;B. die Physik oder andere Naturwissenschaften vorgeben, so dass die Regeln zu wahren Aussagen führen. Ein deduktivistischer Mathematiker kann sich also sowohl von der Verantwortung für die Interpretationen als auch von den ontologischen Schwierigkeiten der Philosophen freihalten.
 
[[David Hilbert]] gilt als bedeutender früher Vertreter des Formalismus. Er strebt einen konsistenten axiomatischen Aufbau der gesamten Mathematik an, wobei er wiederum die natürlichen Zahlen als Ausgangspunkt wählt, in der Annahme, damit ein vollständiges und widerspruchsfreies System zu besitzen. Dieser Auffassung hat kurze Zeit später [[Kurt Gödel]] mit seinem [[Unvollständigkeitssatz]] den Boden entzogen. Damit war für jedes Axiomensystem, das die natürlichen Zahlen umfasst, bewiesen, dass es entweder unvollständig oder in sich widersprüchlich ist.
 
== Strukturalismus ==
Der [[Strukturalismus]] betrachtet die Mathematik in erster Linie als eine Wissenschaft, die sich mit allgemeinen Strukturen beschäftigt, d.&nbsp;h. mit den Relationen von Elementen innerhalb eines Systems. Um dies zu illustrieren, kann man als Beispiel-System etwa die Verwaltung eines Sportvereins<ref>Stewart Shapiro, „Thinking About Mathematics“, Oxford 2000, S. 263</ref> betrachten. Die verschiedenen Ämter (etwa Vorstand, Kassenprüfer, Kassenwart usw.) lassen sich unterscheiden von den Personen, die diese Aufgaben übernehmen. Wenn man nur das Gerüst der Ämter betrachtet (und somit die konkreten Personen, die sie ausfüllen, weglässt), dann erhält man die allgemeine Struktur eines Vereins. Der Verein selbst mit den Personen, die die Ämter übernommen haben, exemplifiziert diese Struktur.
 
Ebenso exemplifiziert jedes System, dessen Elemente einen eindeutigen Nachfolger haben, die Struktur der natürlichen Zahlen: Analoges gilt für andere mathematische Objekte.
Da der Strukturalismus Objekte wie Zahlen nicht losgelöst von ihrer Gesamtheit oder Struktur betrachtet, sondern sie mehr als Plätze in einer Struktur sieht, weicht er der Frage nach der Existenz von mathematischen Objekten aus bzw. klärt sie als [[Kategorienfehler]]. So ist etwa die Zwei als natürliche Zahl nicht mehr losgelöst von der Struktur der natürlichen Zahlen zu betrachten, sondern ein Bezeichner für den zweiten Platz in der Struktur der natürlichen Zahlen: weder hat sie interne Eigenschaften noch eine eigene Struktur. Dementsprechend gibt es sowohl Varianten des [[Strukturalismus]], die mathematische Objekte als existent annehmen, als auch solche, die ihre Existenz ablehnen.
 
Probleme ergeben sich bei dieser Strömung insbesondere aus der Frage nach den Eigenschaften und dem Sein der Strukturen. Ähnlich wie im [[Universalienstreit]] handelt es sich bei Strukturen offenbar um etwas, das gleichzeitig vielen Systemen zukommen kann. So wird die Struktur einer Fußballmannschaft sicher von Tausenden Mannschaften [[Exemplifikation|exemplifiziert]]. Es stellt sich also die Frage, ob und wie Strukturen existieren, ob sie etwa unabhängig von Systemen existieren. Andere offene Fragen betreffen den Zugang zu Strukturen; wie können wir etwas über Strukturen lernen?
 
Aktuelle Vertreter des [[Strukturalismus]] sind [[Stewart Shapiro]], [[Michael Resnik]] und [[Geoffrey Hellman]].
 
== Andere Theorien ==
Der von [[L. E. J. Brouwer|Luitzen Brouwer]] begründete [[Intuitionismus (Logik und Mathematik)|Intuitionismus]] verneint die Existenz mathematischer Begriffe außerhalb des menschlichen Geistes, verwendet deshalb konstruktive Beweise und nicht solche, die Existenzaussagen ohne Angabe einer Konstruktion machen, weshalb in der verwendeten intuitionistischen [[Logik|formalen Logik]] der [[Satz vom ausgeschlossenen Dritten]] nicht verwendet wird. Eine Verallgemeinerung des Intuitionismus ist der [[Konstruktive Mathematik|Konstruktivismus]].
 
Der [[Konventionalismus]] wurde von [[Henri Poincaré]] entwickelt und teilweise von logischen [[Empirismus|Empiristen]] ([[Rudolf Carnap]], [[Alfred Jules Ayer]], [[Carl Hempel]]) weiterentwickelt.
 
Von der Perspektive des Mathematikers ausgehend und zugleich auf die Erkenntniskritik [[Immanuel Kant]]s zurückgreifend, ergibt sich die Frage nach der ''kategorialen Verfassung'' des Menschen, aus welcher sich die mathematischen Disziplinen ableiten lassen (vgl. [[Ernst Kleinert]]).
 
Auch in populärwissenschaftlicher Literatur werden Fragen der Philosophie der Mathematik vorgestellt. So wird u.&nbsp;a. von [[John D. Barrow]] und [[Roger Penrose]] diskutiert, wieso die Mathematik überhaupt nützlich ist und warum sie so gut auf die Welt passt.<!-- dazu gibts schon auch fachliteratur, zb putnam, sollte man mal erwähnen -->


== Siehe auch ==
== Siehe auch ==
* {{WikipediaDE|Kategorie:Philosophie der Mathematik}}
* {{WikipediaDE|Philosophie der Mathematik}}
* {{WikipediaDE|Geschichte der Mathematik}}
* {{WikipediaDE|Grundlagenkrise der Mathematik}}
== Literatur ==
; Einführendes für Laien
* Philip J. Davis; Reuben Hersh: ''The Mathematical Experience''. Study Edition. Birkhäuser (2011). ISBN 0-8176-8294-5. Deutsch (Übers. d. 1. Aufl.): ''Erfahrung Mathematik''. Birkhäuser (1985). ISBN 3-7643-2996-3.
* John D. Barrow: ''Pi in the Sky: Counting, Thinking, and Being''. Back Bay Books (1992). ISBN 0-316-08259-7. Deutsch: ''Ein Himmel voller Zahlen''. Spektrum (1994). ISBN 3-86025-090-6.
* Donald M. Davis: ''The Nature and Power of Mathematics'' (1993). ISBN 0-691-02562-2.
* Reuben Hersh: ''What is Mathematics, really?'', Oxford University Press (1999). ISBN 0-19-513087-1.
* Stewart Shapiro: ''Thinking About Mathematics'', Oxford: Oxford University Press (2000). ISBN 0-19-289306-8.
* Stewart Shapiro: ''The Oxford Handbook of Philosophy of Mathematics and Logic'', Oxford: Oxford University Press (2007). ISBN 0-19-532592-3.
* Ted Honderich: ''The Oxford Companion to Philosophy''. Oxford: Oxford University Press (Neuauflage 2005). ISBN 0-19-926479-1.
* Wilhelm Büttemeyer: ''Philosophie der Mathematik''. Karl Alber (3. Aufl., 2003). ISBN 3-495-48013-7.
* Thomas Bedürftig, Roman Murawski: ''Philosophie der Mathematik'', De Gruyter (2. Auflage, 2012). ISBN 3-11-026291-6.
* [[Joachim Stiller]]: [http://joachimstiller.de/download/philosophie_analytische_philosophie.pdf Die Anfänge der Analytischen Philosophie in Cambridge, darin ein Aufsatz zur Philosophie der Mathematik] PDF
; Fachliteratur
* Paul Benacerraf; Hilary Putnam (Hgg.): ''Philosophy of Mathematics''. Cambridge University Press (1964, 2. Aufl. 1984). ISBN 0-521-29648-X.
* Ernst Kleinert: ''Mathematik für Philosophen'', Leipzig: Leipziger Universitätsverlag, 2004, ISBN 978-3-86583-016-6
* Hartry Field: ''Realism, Mathematics and Modality'', Oxford: Blackwell (1989). ISBN 0-631-16303-4.
* Hartry Field: ''Science Without Numbers: A Defence of Nominalism'', Princeton Univ. Pr. (1980), ISBN 0-691-07260-4
* Wilbur Dyre Hart (Hg.): ''The Philosophy of Mathematics'', Oxford: Oxford University (1996). ISBN 0-19-875120-6.
* Philip Kitcher: ''The Nature of Mathematical Knowledge'', Oxford: Oxford University (1983). ISBN 0-19-503149-0.
* Penelope Maddy: ''Realism in Mathematics'', Oxford: Clarendon Press (1990). ISBN 0-19-824035-X.
* Penelope Maddy: ''Naturalism in Mathematics'', Oxford: Clarendon Press (2000). ISBN 0-19-825075-4.
* Charles Parsons: ''Mathematics in Philosophy: Selected Essays'', Ithaca: Cornell University Press (1983). ISBN 0-8014-8981-4.
* Stewart Shapiro: ''Philosophy of Mathematics: Structure and Ontology'', Oxford: Oxford University Press (1997). ISBN 0-19-513930-5.
* Dale Jacquette: ''Philosophy of Mathematics: An Anthology''. Wiley-Blackwell (2001). ISBN 0-631-21870-X.
;Spezielleres
* Hermann Weyl: ''Philosophie der Mathematik und Naturwissenschaft'', 6. Auflage, Oldenbourg Verlag 1990 (englisch Princeton University Press 1949) (aus dem Handbuch der Philosophie 1927).
* Eugene Wigner: ''The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences'', in: ''Communications on Pure and Applied Mathematics, vol. 13, No. I'' (1960), {{DOI|10.1002/cpa.3160130102}}.
* Christian Thiel: ''Philosophie und Mathematik: eine Einführung in ihre Wechselwirkungen und in die Philosophie der Mathematik'', Darmstadt : Wissenschaftliche Buchgesellschaft, 1995
* John Randolph Lucas: ''The Conceptual Roots of Mathematics''. Routledge London/New York (2000). ISBN 0-415-20738-X.
* Saunders Mac Lane: ''Mathematics: Form and Function''. Springer, New York (1986). ISBN 0-387-96217-4.
== Weblinks ==
* [http://www.mlwerke.de/me/me20/me20_001.htm „Herrn Eugen Dührings Umwälzung der Wissenschaft“ auf mlwerke.de]
* {{SEP|http://plato.stanford.edu/entries/mathphil-indis/|Indispensability Arguments in the Philosophy of Mathematics|Mark Colyvan}}
* {{SEP|http://plato.stanford.edu/entries/philosophy-mathematics/|Philosophy of Mathematics|Leon Horsten}}
* {{SEP|http://plato.stanford.edu/entries/platonism-mathematics/|Platonism in the Philosophy of Mathematics|Øystein Linnebo}}
* Øystein Linnebo: {{Webarchiv|url=http://seis.bris.ac.uk/~plxol/NMO.pdf|wayback=20070824130923|text=The Nature of Mathematical Objects}} (PDF; 206&nbsp;kB), erscheint in: B. Gold (Hg.): ''Current Issues in the Philosophy of Mathematics from the Perspective of Mathematicians'', Mathematics Association of America 2008.
* Michael Otte: [http://logica.ugent.be/philosophica/fulltexts/43-5.pdf Der Charakter der Mathematik zwischen Philosophie und Wissenschaft] (PDF; 3&nbsp;MB)
* {{SEP|http://plato.stanford.edu/entries/naturalism-mathematics/|Naturalism in the Philosophy of Mathematics|Alexander Paseau}}
* [http://www.iep.utm.edu/category/s-l-m/math/ Übersicht zu Artikeln] zur Philosophie der Mathematik in der Internet Encyclopedia of Philosophy
== Einzelnachweise ==
<references />
[[Kategorie:Philosophie nach Disziplin]]
[[Kategorie:Philosophische Disziplin]]
[[Kategorie:Philosophie der Mathematik|!]]
[[Kategorie:Analytische Philosophie|101]]


{{Wikipedia}}
[[Datei:Menschheitsrepraesentant Christuskopf.gif|400px]]

Version vom 2. Februar 2020, 17:18 Uhr

Rudolf Steiner, Zweite Studie des Christuskopfes für die Statue des Menschheitsrepräsentanten, Ostern 1915

Siehe auch

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