Göttliche Komödie/Purgatorio und Strömungsmechanik: Unterschied zwischen den Seiten

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[[Bild:Dante_Bueste.jpg|thumb|250px|[[Wikipedia:Büste|Büste]] Dantes]]
Die '''Strömungsmechanik''', '''Fluidmechanik''' oder '''Strömungslehre''' ist die [[Wissenschaft]] vom physikalischen Verhalten von [[Fluid]]en. Die in der Strömungsmechanik gewonnenen Kenntnisse sind Gesetzmäßigkeiten in Strömungsvorgängen und dienen der Lösung von Strömungsproblemen in der Auslegung von durch- bzw. umströmten Bauteilen sowie der Überwachung von '''Strömungen'''. Angewendet wird sie unter anderem im [[Maschinenbau]], [[w:Chemieingenieurwesen|Chemieingenieurwesen]], der [[Wasserwirtschaft|Wasser-]] und [[Energiewirtschaft]], [[Meteorologie]], [[Astrophysik]] und der [[Medizin]]. Ihre Grundlagen findet sie in der [[Kontinuumsmechanik]] und [[Thermodynamik]], also der [[Klassische Physik|klassischen Physik]].
== Purgatorio ==


{{Siehe auch|Inferno|Paradiso}}
== Historische Entwicklung ==
Die Strömungsmechanik beruht auf der [[Kontinuumsmechanik]], [[Physik]] und [[Differentialrechnung]], deren jeweiliger historischer Werdegang dort nachgeschlagen werden kann. An dieser Stelle soll die spezifisch strömungsmechanische Entwicklung skizziert werden.


Das '''Purgatorio''' entspricht aus [[Anthroposophie|anthroposophischer Sicht]] dem [[Kamaloka]] bzw. dem [[Fegefeuer]]. Es ist der Ort der Reinigung von allen [[Begierde]]n, die den [[Mensch]]en im [[Egoismus|egoistischen]] Sinn an das [[irdisch]]e [[Dasein]] binden. In der [[Göttliche Komödie|Göttlichen Komödie]] erfolgt diese [[Läuterung]] auf dem '''Läuterungsberg''', der sich auf einer Insel im südlichen Meer fast bis zur [[Mondsphäre]] erhebt. Die Insel liegt genau gegenüber von [[Jerusalem]], wo sich nach der Überlieferung der Eingang zur [[Hölle]] in der Schlucht [[Gehinnom]] befindet, die im Süden der [[Jerusalem|Jerusalemer Altstadt]] liegt und vom Fuß des [[Wikipedia:Berg Zion|Berges Zion]] in östlicher Richtung bis zum [[Kidrontal]] reicht.
[[Archimedes]] (287–212 v. Chr.) befasste sich mit strömungsmechanischen Fragestellungen ([[Archimedisches Prinzip]], [[Archimedische Schraube]]). [[Sextus Iulius Frontinus]] (ca. 35–103 n. Chr.) dokumentierte seine Kenntnisse über die Wasserversorgung in der Antike, über tausend Jahre bevor sich [[Leonardo da Vinci#Wissenschaftliche Arbeiten|Leonardo da Vinci]] (1452–1519) mit Strömungsvorgängen auseinandersetzte.


== Übersicht ==
[[Galileo Galilei]] (1564–1642) gab Impulse in der experimentellen Hydrodynamik und überarbeitete das von [[Aristoteles]] eingeführte Konzept des [[Vakuum]]s. [[Evangelista Torricelli]] (1608–1647) erkannte im Gewicht der [[Erdatmosphäre]] die Ursache des [[Luftdruck]]s und verband den horizontal ausgestoßenen Flüssigkeitsstrahl mit den Gesetzen des freien Falls ([[Torricelli’sches Ausflussgesetz]]). [[Blaise Pascal]] (1623–1662) beschäftigte sich unter anderem mit der Hydrostatik und formulierte den Satz von der allseitigen [[Druck (Physik)|Druck]]<nowiki>fortpflanzung</nowiki>. [[Edme Mariotte]] (1620–1684) lieferte Beiträge zu Problemen der Flüssigkeiten und Gase und stellte dabei erste Konstitutivgesetze auf. [[Henri de Pitot]] (1695–1771) untersuchte den Staudruck in Strömungen.
[[Datei:Dante03.jpg|mini|250px|Dante schaut auf den Läuterungsberg. Gemälde von [[Wikipedia:Agnolo Bronzino|Agnolo Bronzino]] (1530)]]
[[Datei:Pinelli Purgatorio 02.jpg|mini|250px|Ankunft der Engelsbarke. Kupferstich von [[Wikipedia:Bartolomeo Pinelli|Bartolomeo Pinelli]] (1825)]]
[[Datei:Blake-Lucia traegt Dante Purgatorio 9-55.jpg|mini|250px|[[Wikipedia:William Blake|William Blake]]: Lucia trägt Dante bis zum Eingang des Fegefeuers, Purgatorio 9,55]]
[[File:Michelino DanteAndHisPoem.jpg|mini|250px|[[Wikipedia:Domenico di Michelino|Domenico di Michelino]], ''La Divina Commedia di Dante'' ([[Dante Alighieri]] und die drei Reiche: ''Hölle, Fegfeuer und Paradies''). 1465 Fresko in der Kuppel der Kirche [[Wikipedia:Santa Maria del Fiore|Santa Maria del Fiore]] in [[Wikipedia:Florenz|Florenz]]. [[Dante]] hält sein Epos «Die Göttliche Komödie» in der linken Hand. Mit der Rechten weist er auf eine Prozession von Sündern zur Hölle, hinter ihm das [[Purgatorium]] und eine historische Ansicht der Stadt Florenz um 1465.]]
<table align="center"><tr><td>
<div>1&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;<i>Venus, der Morgenstern; Cato, H&uuml;ter des '''L&auml;uterungsberges'''.</i></div><div><i>2&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Ankunft der Engelbarke; Casella, der S&auml;nger.</i></div><div>3&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <i>Die unter kirchlichem Bann Gestorbenen; Manfred.<br/></i>4, 5&nbsp;&nbsp; Diejenigen die die Bu&szlig;e verschoben haben bis&nbsp;an ihr Lebensende.<br/>6&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;Sordello; <i>Bu&szlig;rede &uuml;ber das zerrissene Italien.</i></div><div><i>7&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; </i>Tal der F&uuml;rsten.</div><div>8&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Erste Nacht; die zwei Engel; die Schlange der Versuchung.</div><div>9&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; '''Dantes Traum'''. Er wird im Schlaf zu der Petruspforte gebracht. </div><div>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Der Engel mit dem Schwerte ritzt die 7 P's (die [[7 Todsünden]]) auf Dantes Stirn.</div><div>10&nbsp;&nbsp;&nbsp; <i>Der erste Kreis <b>Hochmut</b>, </i>gute Vorbilder der Demut.</div><div>11&nbsp;&nbsp;&nbsp; Die schwer b&uuml;&szlig;enden Hochm&uuml;tigen beten das Vaterunser.</div><div>12&nbsp;&nbsp;&nbsp; Vorbilder von bestraftem Hochmut; das erste P. wird getilgt.</div><div>13&nbsp;&nbsp;&nbsp; <i>Zweiter Kreis<b> Neid</b>. </i>Den Neidischen sind die Augen zugen&auml;ht.</div><div>14&nbsp;&nbsp;&nbsp; Die Neidischen; warnende Stimmen in der Luft.</div><div>15&nbsp;&nbsp;&nbsp; &Uuml;bergang zum <i>dritten Kreis <b>Zorn</b> </i>Vision Dantes; </div><div>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Vorbilder des Sanftmutes.</div><div>16&nbsp;&nbsp;&nbsp; Dichte Finsternis. Marco Lombardo &uuml;ber den Einflu&szlig; der Sterne </div><div>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; auf die menschliche Seele. Freier Wille.</div><div>17&nbsp;&nbsp; &nbsp;Übergang zum <i>vierten Kreis. <b>Tr&auml;gheit des Herzens</b>. </i></div><div>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Worte Virgils <i>&uuml;ber nat&uuml;rliche und geistige Liebe</i></div><div>18&nbsp;&nbsp;&nbsp; Fortsetzung des Gespr&auml;chs <i>&uuml;ber Liebe und freien Willen</i></div><div>19&nbsp;&nbsp;&nbsp; <i>Traum von der Sirene F&uuml;nfter Kreis <b>Geiz</b>.</i></div><div>20&nbsp;&nbsp;&nbsp; Dante verflucht die Habsucht; </div><div><i>&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Frage nach dem kommenden Erl&ouml;ser </i>(Veltro) Erdbeben.</div><div>21&nbsp;&nbsp;&nbsp; Erkl&auml;rung des Erdbebens: </div><div>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; eine erl&ouml;ste Seele darf eingehen in den Himmel; Statius.</div><div>22&nbsp;&nbsp;&nbsp; <i>Sechster Kreis <b>Gier</b>.</i></div><div>23&nbsp;&nbsp;&nbsp; <i>Forese Donati.</i></div><div>24&nbsp;&nbsp;&nbsp; Gespr&auml;ch &uuml;ber die Dichtkunst mit Buonagiunta.</div><div>25 &nbsp;&nbsp;&nbsp;Statius' Belehrung &uuml;ber <i>K&ouml;rper und Seele; </i></div><div>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; die Flammen des <i>siebenten Kreises <b>Wollust</b>.</i></div><div>26&nbsp;&nbsp;&nbsp; Gespr&auml;ch mit Guinicelli und Arnaut (Troubadour) </div><div>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Dante spricht den Letzteren an in der provencalischen Sprache.</div><div>27&nbsp;&nbsp;&nbsp; <b><i>Dante schreitet durch die Flammen</i></b><i>. </i></div><div><i>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Kr&ouml;nung durch Virgil mit der Kaiserkrone</i></div><div><i>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; und mit der p&auml;pstlichen Mitra.</i></div><div>28&nbsp;&nbsp;&nbsp; '''Das <i>irdische Paradies'''; Matelda; Lethe und Eunoe.</i></div><div>29&nbsp;&nbsp;&nbsp; <i>Allegorischer Festzug.</i></div><div>30&nbsp;&nbsp;&nbsp; <i>Beatrice auf dem Wagen vom Greifen gezogen. </i></div><div><i>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Virgil ist verschwunden. Beatrices Strafrede.</i></div><div>31&nbsp;&nbsp;&nbsp; <i>Dantes Erniedrigung. </i>Untertauchung in der <b>Lethe</b>. </div><div><i>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Dante schaut Beatrices Antlitz.</i></div><div>32&nbsp;&nbsp;&nbsp; <i>Der Paradiesesbaum. Apokalyptische Bilder. </i></div><div><i>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Riese (Franz&ouml;sischer K&ouml;nig) und Hure<b> </b>(Papsttum).</i></div><div>33&nbsp;&nbsp;&nbsp; <i>Beatrices Prophetie des DXV </i>Trunk aus der '''Eunoe'''. </div><div>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Aufstieg zum Himmel (Paradiso).</div>
</td></tr></table>


== Inhalt ==
[[Isaac Newton]] veröffentlichte 1686 seine dreibändige [[Philosophiae Naturalis Principia Mathematica|Principia]] mit den Bewegungsgesetzen und definierte zudem im zweiten Buch die [[Viskosität]] einer idealen (''[[Newtonsches Fluid|newtonschen]]'') Flüssigkeit. [[Daniel Bernoulli]] (1700–1782) begründete die Hydromechanik, indem er Druck und Geschwindigkeit in der nach ihm benannten [[Bernoulli-Gleichung|Energiegleichung]] verband und [[Leonhard Euler]] (1707–1783) formulierte die [[Euler-Gleichungen (Strömungsmechanik)|Bewegungsgleichungen]] für [[ideale Flüssigkeit]]en. Von nun an konnten Erkenntnisse auch durch Untersuchungen der mathematischen Gleichungen gewonnen werden. [[Jean-Baptiste le Rond d’Alembert]] (1717–1783) führte die [[eulersche Betrachtungsweise]] und [[komplexe Zahl]]en in der [[Potentialströmung|Potentialtheorie]] ein, leitete die lokale [[Kontinuumsmechanik#Massenbilanz|Massenbilanz]] her und formulierte das [[d’Alembertsches Paradoxon|d’Alembert’sche Paradoxon]], demgemäß von der Strömung idealer Flüssigkeiten auf einen Körper keine Kraft in Richtung der Strömung ausgeübt wird (was Euler schon vorher bewies). Wegen dieser und anderer Paradoxien reibungsfreier Strömungen war klar, dass die Euler’schen Bewegungsgleichungen zu ergänzen sind.
=== Der Strand rund um den Läuterungsberg ===
Dem grausen Höllenmeer entronnen, finden sich Dante und Vergil am Strand jener weit im südlichen Meer gelegenen Insel wieder, auf der sich der Läuterungsberg so mächtig erhebt, dass der suchende Blick nicht bis zu seiner Spitze reicht. Dante ruft die heiligen Musen an, insbesondere Kalliope, die Muse der epischen Dichtung, ihm Kraft zu geben, von jenem zweiten Reich zu singen, wo Läuterung den Menschen zur Verpflichtung wird, um Himmelshöhn sich würdig zu erweisen. Am saphirblau schimmernden Himmel steht im Osten das Liebesgestirn der Venus im Sternbild der Fische. Gegen Süden gewendet erblickt Dante ein Kreuz, gebildet aus vier Sternen, die die klassischen platonischen Kardinaltugenden repräsentieren: Weisheit, Tapferkeit, Besonnenheit und Gerechtigkeit. Im Norden sinkt der Große Bär gerade unter den Horizont.


==== Cato als Hüter des Läuterungsbergs ====
[[Claude Louis Marie Henri Navier]] (1785–1836) und [[George Gabriel Stokes]] (1819–1903) erweiterten die Euler’schen Bewegungsgleichungen um [[Viskosität|viskose]] Terme zu den [[Navier-Stokes-Gleichungen]], die Strömungen realitätsnah modellieren. [[Giovanni Battista Venturi]] (1746–1822), [[Gotthilf Heinrich Ludwig Hagen]] (1797–1884) und [[Jean Léonard Marie Poiseuille]] (1799–1869) führten experimentelle Untersuchungen in Strömungen durch. [[William Froude]] (1810–1879) ermittelte den Schwimmwiderstand von Schiffen, [[Ernst Mach]] (1838–1916) leistete Pionierarbeit in der Überschallaerodynamik, [[John Strutt, 3. Baron Rayleigh|Lord Rayleigh]] (1842–1919) untersuchte hydrodynamische Instabilitäten und [[Vincent Strouhal]] (1850–1922) erforschte die Schwingungsanregungen durch ablösende [[Wirbel (Strömungslehre)|Wirbel]]. [[Hermann von Helmholtz]] (1821–1894) formulierte die nach ihm benannten [[Helmholtzsche Wirbelsätze|Wirbelsätze]] und begründete durch mathematisch ausgearbeitete Untersuchungen über Wirbelstürme und Gewitter die wissenschaftliche [[Meteorologie]]. Weitere bahnbrechende Arbeiten wurden von [[Osborne Reynolds]] (1832–1912, [[Reynolds-Gleichungen]], [[Reynoldszahl]]) und [[Ludwig Prandtl]] (1875–1953, unter anderem zur [[Hydrodynamische Grenzschicht|hydrodynamischen Grenzschicht]]) vorgelegt.


Ein ehrfurchtgebietender Greis mit langem Bart und Silberhaar erscheint und spricht die Wanderer an. Es ist Cato der Jüngere (Marcus Porcius Cato Uticensis, 95-46 v.Chr.), der im Mittelalter als Verteidiger der römischen Freiheit gegen Cäsar galt. Um diesem nicht in die Hände zu fallen, hatte er in Utica Selbstmord begangen. Ob seiner ehrenvollen Haltung wurde er bei der Höllenfahrt Christi am Karsamstag aus dem Inferno befreit. Vergil überbringt ihm die Liebesgrüße von dessen Gattin Marzia, die wie Vergil selbst und viele andere reine, aber ungetaufte Seelen den ersten Höllenkreis, die Vorhölle, bewohnt. Dann erzählt Vergil, wie er Dante auf höchsten Auftrag durch die jenseitigen Reiche bis hin zum irdischen Paradies zu führen habe, das auf dem Gipfel des Läuterungsberges liegt, von wo aus Dante von Beatrice bis zu den höchsten himmlischen Höhen geleitet würde. Cato befiehlt Vergil, Dante mit reinster Binsenborte zu gürten und dafür zu sorgen, dass dieser sich das Antlitz gründlich wasche, um allen Schmutz der niederen Welten loszuwerden. So geschieht es auch und Cato entfernt sich.
[[Andrei Nikolajewitsch Kolmogorow]] (1903–1987) erweiterte die Theorie der [[Turbulente Strömung|turbulenten Strömung]]. Ab Mitte des 20. Jahrhunderts entwickelten sich die [[Strömungsmesstechnik]] und [[numerische Strömungsmechanik]] so weit, dass mit ihrer Hilfe Lösungen für praktische Probleme gefunden werden können.<ref>{{Literatur |Autor=F. Durst |Titel=Grundlagen der Strömungsmechanik |Verlag=Springer |Datum=2006 |ISBN=3-540-31323-0 |Seiten=10–16}}</ref>


==== Ankunft der Engelsbarke ====
== Methodik ==
Gegenstand der Strömungsmechanik sind die Bewegungen von Fluiden, ruhenden, fließenden oder strömenden Medien. Die Suche nach Gesetzmäßigkeiten von Bewegungen und Lösungen für Strömungsprobleme bedient sich dreierlei Methoden:
; Analytische Methoden: Gesetzmäßigkeiten werden in Form von Gleichungen formuliert, die mit Hilfe der angewandten Mathematik behandelt werden können.
; Experimentelle Methoden: Die Phänomenologie der Strömungsvorgänge wird erkundet mit dem Ziel Gesetzmäßigkeiten herauszufinden.
; Numerische Methoden: Durch einen detaillierten Einblick auch in komplizierte und kurzzeitige Strömungsvorgänge unterstützen und ergänzen die Berechnungen die analytischen und experimentellen Methoden.


Die Sonne steigt und im frühen Licht regt sich Mars. Jerusalem und der Läuterungsberg liegen antipodisch; geht in Jerusalem die Sonne unter, so geht sie hier auf. Schon naht die Engelsbarke, mit der die Seelen der Toten, die zur Läuterung und nicht zu ewiger Verdammnis bestimmt sind, von der Tibermündung zum Purgatorio gebracht werden. Gemeinsam singen sie „Als Israel gezogen aus Ägypten...“ (Psalm 114). Der Engel des Herrn, vor dem Dante und Vergil ehrfürchtig auf die Knie sinken, steht am Heck.  
Die Komplexität des Gegenstandes macht die kombinierte Nutzung aller drei Methoden für die Lösung praktischer Strömungsprobleme notwendig.


[[Datei:Gustave dore dante the celestial pilot.jpg|mini|250px|[[Wikipedia:Gustave Doré|Gustave Doré]]: ''Die Ankunft der Engelsbarke'', (Purgatorio 2, 16-51)]]
== Teilgebiete ==
{{Spalten|<poem>{{Zeile|16}} So sah ich jetzt ein Licht – o säh’ ich’s mehr! –<ref>[16. Der Leser wird in der hohen poet. Schönheit der folgenden Stelle, 16 bis zum Schluß, gleich einen Beweis des in der Vorbemerkung Gesagten erkennen.]</ref>
=== Fluidstatik ===
Und eilig, wie kein Vogel je geflogen,
{{Hauptartikel|Fluidstatik}}
Glitt’s auf des Meeres glattem Spiegel her.
[[Datei:Hydrostatisches Paradoxon4.svg|mini|[[Hydrostatisches Paradoxon]]: Der Flüssigkeitsdruck am Boden (rot) ist in allen drei Gefäßen identisch.]]
{{Zeile|19}} Als ich von ihm die Augen abgezogen
Ein wenig hatt’ und zu dem Führer sprach,
Schien’s heller dann und größer ob den Wogen.
{{Zeile|22}} Dann auf des Lichtes beiden Seiten brach<ref>22. Der hellste Glanz ist der des Angesichts, und dieser wird zuerst erkennbar, dann zeigt sich das lichte Weiß der beiden Flügel und zuletzt das des Gewandes.</ref>
Ein ''weißer'' Glanz hervor, und bald erkannte,
Ich ''andres Weiß'' auch unten nach und nach.
{{Zeile|25}} Mein Meister, der nach ihm sich schweigend wandte,
Indem der Flügel erstes Weiß erschien,
Rief, wie er nun den hehren Schiffer kannte:
{{Zeile|28}} „O eile jetzt, o eile, hinzuknie’n!
Sieh, Gottes Engel! Falte deine Hände!
Nun siehst du ''Solche'' Gottes Wink vollziehen.<ref>[30. – Engel, statt, wie in der Hölle, Teufel.]</ref>
{{Zeile|31}} Sieh, er verschmäht, was Menschenwitz erfände.
Nicht Segel, Ruder nicht – sein Flügelpaar
Braucht er zur Fahrt an’s ferneste Gelände.
{{Zeile|34}} Sieh, wie’s gen Himmel strebt so schön und klar!
Die Luft bewegt das ewige Gefieder,
Das nicht sich ändert wie der Menschen Haar.“
{{Zeile|37}} Und wieder naht er sich indeß und wieder
In hellerm Glanz, daß näher solchen Schein
Mein Auge nicht ertrug, drum schlug ich’s nieder.
{{Zeile|40}} Und leicht und schnell sah ich durch ihn allein
Das Schiff des Eilands niedern Strand gewinnen,
Auch drückt’ es kaum die Spur den Fluten ein.
{{Zeile|43}} Voll Seligkeit stand er vor meinen Sinnen,
Am Hintertheil des Schiff’s, der Steuermann,
Und mehr als hundert Geister saßen drinnen.
{{Zeile|46}} „''Als aus Aegypten Israel entrann'',“<ref>46. Der Anfang des schönen 114ten Psalmen, welchen die Leser nachsehen mögen. Sie werden leicht erkennen, wie herrlich dieser Psalm {{Seite|209}} auf die Seelen angewandt ist, welche, gerettet aus der Sclaverei der Erde, der Freiheit zuziehen.</ref>
Die Schaar, gewiß, das Ufer zu erreichen,
Fing diesen Psalm einstimm’gen Sanges an.
{{Zeile|49}} Er macht’ auf sie des heil’gen Kreuzes Zeichen,<ref>49. Der christliche Glaube und die christliche Sittenlehre sind es, die uns am sichersten zur moralischen Freiheit leiten. Auf sie verweiset der Engel die Seelen, indem er auf sie das Zeichen des Kreuzes macht.</ref>
Drauf warf sich jeder hin am Meeresbord,
Dann sah man ihn schnell, wie er kam, entweichen.
                                      (Purgatorio 2, 16-51)</poem>|70%}}


Die Seelen betreten den weiten Strand und befragen Vergil nach dem weiteren Weg, doch dieser muss bekennen, dass er selbst noch völlig fremd in diesem Reich ist. Staunend erkennen die Seelen, dass Dante noch zu den Lebenden zählt. Unter ihnen ist auch Dantes Jugendfreund [[Casella]], der dessen Kanzonen vertont hat. Sie wollen einander umarmen, was aber an der Körperlosigkeit der Seele scheitert. Casella entfernt sich lächelnd, Dante folgt ihm und bittet ihn, noch zum Gespräch zu verweilen. Casella berichtet, dass er jetzt erst angekommen sei, weil ihm der Engel mehrmals die Überfahrt verweigert hatte – doch das sei aus gerechtem Willen geschehen. Seit drei Monaten aber habe der Engel jeden mitgenommen, der hierher wollte – und so auch ihn. Dann beginnt Casella lieblich einen Vers Dantes zu singen, der alle, auch Vergil, bezaubert. Da erschallt die Stimme Catos und mahnt zur Eile. Verstört eilen die Seelen zum Berg. Dante und Vergil folgen ihnen.
Die Fluidstatik betrachtet ''ruhende'' Fluide, wobei die [[Hydrostatik]] Inkompressibilität voraussetzt, die Wasser in guter Näherung aufweist. Hier interessiert die Druckverteilung in ruhenden Flüssigkeiten und die daraus resultierenden Kräfte auf Behälterwände, siehe Bild. Schwimmende Körper erfahren einen [[Statischer Auftrieb|statischen Auftrieb]] und es interessiert die Frage, unter welchen Voraussetzungen die [[Schwimmstabilität]] des Körpers gegeben ist. Thermische Effekte sind hier von untergeordneter Bedeutung.


=== Vorpurgatorium ===
Die [[Aerostatik]] betrachtet die Gesetzmäßigkeiten in ruhender [[Atmosphäre (Astronomie)|Atmosphäre]] oder [[Erdatmosphäre]] und hier sind Dichteänderungen und thermische Effekte ausschlaggebend. Betrachtet wird beispielsweise die [[Atmosphärenschichtung]] und die [[Barometrische Höhenformel|Druck- und Temperaturverteilung]] über die Höhe in der Erdatmosphäre.
[[Datei:Michelangelo Caetani, The Ordering of Purgatory, 1855 Cornell CUL PJM 1071 05.jpg|mini|500px|Die Ordnung des Läuterungsberges, [[WikipediaEN:Michelangelo Caetani|Michelangelo Caetani]] (1855)]]
Sie nähern sich der Steilwand. Zu seiner Linken sieht Dante Seelen, die sich so träge bewegen, als ob sie niemals etwas dränge. Hier harren die unter kirchlichem Bann Gestorbenen ihrer Läuterung. Zögernd und mit gesenktem Kopf trippeln die Seelen näher und sind höchst erstaunt, dass Dantes Schatten auf die Erde bis hin zur Wand geworfen wird. Aus der Geisterschar löst sich einer mit blonden Haaren. Auf seiner Stirn klafft eine Wunde. Als Dante ihn nicht erkennt, zeigt er diesem auch seine tiefe Brustverletzung. Es ist König Manfred von Sizilien (1232-1266), der natürliche und später legitimierte Sohn Kaiser Friedrichs II. Wegen seines ausschweifenden Lebenswandels wurde er exkommuniziert und fiel 1266 in der Schlacht von Benevent. Er muss das Dreißigfache der Zeit seiner Exkommunikation im Vorpurgatorium ausharren.


Der weitere Aufstieg führt durch einen engen Felskamin. Schließlich erreichen Dante und Vergil einen Hang mit leichter Schräge. Dante staunt noch immer darüber, dass die Sonne von links aufgegangen ist. Vergil belehrt ihn ausführlich über die Lage des Läuterungsberges auf der südlichen Hemisphäre.
=== Ähnlichkeitstheorie ===
{{Hauptartikel|Ähnlichkeitstheorie}}
[[Datei:MD-11 12ft Wind Tunnel Test.jpg|mini|[[Windkanal]] der [[National Aeronautics and Space Administration|NASA]] mit dem Modell einer MD-11]]


Eine nahe Stimme höhnt. Es ist Belaqua, ein wegen seiner Faulheit stadtbekannter florentinischer Musikinstrumentenbauer und Zeitgenosse Dantes. Belaqua erklärt, warum sich die Seelen hier so träge bewegen. Jene, die, wie er selbst, ihre Reue bis zum Lebensende hinausgeschoben haben, müssen hier im Vorpurgatorium so lange ausharren, wie ihr irdisches Leben währte, ehe sie zum Aufstieg auf den Läuterungsberg zugelassen würden. Jede Eile sei hier vergebens.
Die Ähnlichkeitstheorie beschäftigt sich damit, aus einem bekannten und zugänglichen (Modell)-System Rückschlüsse auf ein interessierendes aber experimentell unzugängliches (Real)-System zu bilden, das z.&nbsp;B. größer oder kleiner, schneller oder langsamer oder sich in anderen Dimensionen nur quantitativ vom Modellsystem unterscheidet, siehe Bild. ''Kinematisch ähnlich'' sind zwei Strömungen, wenn sie ähnliche räumliche Bewegungen ausführen. Voraussetzung hierfür ist, dass ähnliche Randbedingungen vorliegen (''geometrische Ähnlichkeit'') und auf die Fluidelemente ähnliche Kräfte wirken, was ''dynamische Ähnlichkeit'' bedeutet. Die Ähnlichkeitsbetrachtungen werden auch auf Wärmetransportprobleme bei ''thermischer Ähnlichkeit'' angewendet. Begründet wurde die Ähnlichkeitstheorie 1883 von [[Osborne Reynolds]] in Form des Reynolds’schen Ähnlichkeitsgesetzes, das besagt, dass die Strömungen am Original und am Modell mechanisch ähnlich verlaufen, wenn die [[Reynolds-Zahl]]en übereinstimmen.


Vergil drängt weiter, da die Sonne schon zum Mittag steigt. Das „Miserere“ (Psalm 51) singend nahen weitere Seele. Auch sie staunen über Dantes Schatten und bitten ihn, nach seiner Rückkehr in die Erdenwelt von ihren Leiden zu künden. Darunter ist auch Pia di Tolomei aus Siena, die von ihrem Gatten Nello da Pannocchieschi, weil er sie der Untreue verdächtigte, 1295 in einem seiner Schlösser auf geheimnisvolle Weise getötet wurde. Fürbitten der noch Lebenden können das Los der Leidenden erleichtern. Dante ist darüber verwundert, da Vergil in seiner Äneis beschrieben hatte, dass auch Bitten den Urteilspruch über die Seelen nicht ändern könnten. Doch das habe sich seit Christi Erdenleben geändert, erwidert Vergil; weitere Auskunft darüber könne aber später erst Beatrice geben.
=== Stromfadentheorie ===
{{Hauptartikel|Stromfadentheorie}}
Die Stromfadentheorie betrachtet Strömungen entlang einer von [[Stromlinie]]n gebildeten, (infinitesimal) dünnen Stromröhre, in der die Zustandsgrößen Geschwindigkeit, Druck, Dichte und Temperatur als über den Querschnitt des Stromfadens konstant angenommen werden können. Auf diese Volumina können die Integralformen der Grundgleichungen angewendet werden, um so weitere Lösungen von Strömungsproblemen zu erarbeiten. Ein stationäres Strömungsgebiet besteht aus Stromfäden, so dass es gelingt die globalen Eigenschaften der Strömung mit den Eigenschaften der Stromfäden zu beschreiben. Prominenter Anwendungsfall ist die Strömung durch Röhren und [[Düse]]n. Die Gesamtheit der eindimensionalen Strömungen von Wasser werden unter dem Sammelnamen [[Hydraulik]] zusammengefasst.<ref>{{Literatur |Hrsg=H. Oertel |Titel=Prandtl-Führer durch die Strömungslehre. Grundlagen und Phänomene |Auflage=13. |Verlag=Springer Vieweg |Datum=2012 |ISBN=978-3-8348-1918-5 |Seiten=58}}</ref> Die [[Fluidtechnik]] und [[Fluidik]] wenden die Hydraulik und [[Pneumatik]] an, um Energie zu übertragen oder Signale zu verarbeiten.


==== Sordello und Dantes Strafrede über Italien ====
=== Potentialströmungen ===
{{Hauptartikel|Potentialströmung}}
[[Datei:Streamlines relative to airfoil.png|mini|Stromlinien um ein [[Profil (Strömungslehre)|Flügelprofil]]]]


Während sich der aus Mantua stammende Dichter Sordello (um 1200-1270) nähert, hält Dante seine große Strafrede über die Zwietracht in Italien. Als sich Vergil zu erkennen gibt, wird er von Sordello freudig und ehrfürchtig begrüßt. Vergil berichtet von der Reise durch das Inferno und fragt Sordello, wie man am raschesten auf den Berg aufsteigen könne. Da schon der Abend dämmert und in der Nacht der Aufstieg unmöglich ist, führt Sordello die Wanderer zu einem tief in den Berg eingeschnittenen Tal, wo zahlreiche Herrscher das Unglück ihrer Völker beklagen. Zu ihnen zählen Rudolf I. von Habsburg und Přemysl Ottokar II. von Böhmen, der Rudolf unterlegen und 1278 in der Schlacht auf dem Marchfeld gefallen war. Auch sehen sie Heinrich VII. (1278/79-1313), der die kaiserliche Oberhoheit in Italien wiederherzustellen versuchte und auf den Dante so große Hoffnungen gesetzt hatte.
In Potentialströmungen ergibt sich das [[Geschwindigkeitsfeld]] aus der Ableitung eines [[Geschwindigkeitspotential]]s, weshalb solche Strömungen grundsätzlich reibungs- und [[Wirbelstärke|rotationsfrei]] sind. Eine [[laminare Strömung]] bei niedrigen [[Reynolds-Zahl]]en folgt in guter Näherung einer Potentialströmung, wenn die fluiddynamische Grenzschicht an den Rändern der Strömung keine wesentliche Rolle spielt. Die Potentialtheorie findet Anwendung in der Auslegung und im Design von Flugzeugen. Potentialströmungen sind relativ einfach zu berechnen und erlauben analytische Lösungen für viele Strömungsprobleme.


==== Die zwei grünen Engel vertreiben den Widersacher ====
Eine andere Idealisierung, die Rotation erlaubt, aber nur inkompressible Medien betrachtet, gestattet die Einführung einer [[Stromfunktion]]. Diese ist allerdings nur in ebenen oder als [[Stokessche Stromfunktion]] in drei dimensionalen, axialsymmetrischen Fällen anwendbar. Die Höhenlinien der Stromfunktionen sind Stromlinien.


Zwei grün wie frisches Laub gekleidete Engel mit grünen Flügeln und roten Flammenschwertern fahren aus der Höhe nieder. Dante sieht sich erschreckt und wachsam um und erblickt Nino Visconti, der Richter in Gallura in Sardinien gewesen war. Als Dante von seiner Höllenfahrt berichtet, weckt Nino fassungslos erstaunt Currado Malaspina. Am Südhimmel ist indessen das Dreigestirn aufgegangen, das für die christlichen Tugenden Glaube, Liebe und Hoffnung steht; das morgendliche Viergestirn der Kardinaltugenden ist bereits untergangen. In diesem Moment erscheint der Widersacher in Gestalt einer Schlange, die sich durch Gras und Blumen windet. Wie Falken stürzen die grünen Engel auf ihn nieder und vertreiben ihn.
In ebenen, dichtebeständigen ''und'' rotationsfreien Strömungen kann das Geschwindigkeitsfeld mit komplexen Funktionen ausgedrückt und somit deren weitreichenden Eigenschaften ausgenutzt werden. Mit Hilfe dieser Theorie konnten Anfang des 20. Jahrhunderts erste auftriebserzeugende Flügelprofile entwickelt werden, siehe Bild.


=== Die Pforte des Purgatoriums ===
=== Gasdynamik ===
{{Hauptartikel|Gasdynamik}}
Es wird Nacht. Dante versinkt im Schlaf. Im Morgentraum erlebt Dante, wie er von Lucia durch die Feuersphäre zur Pforte des eigentlichen Purgatoriums getragen wird. Schreckensbleich durchzittert wie von Frost erwacht er. Vergil beruhigt ihn und steigt den Berg hinan. Dante folgt ihm zum Tor, zu dem drei verschiedenfarbige Stufen hinaufführen. Darüber, auf höchster Schwelle, sitzt mit blankem Schwert und versteinerter Miene ein Engel als Pförtner. Die erste Stufe aus strahlend weißem Marmor spiegelt Dantes Ebenbild. Sie steht für die Selbsterkenntnis und das Bekenntnis der Sünden. Die zweite Stufe zeigt dunkle Farbgestalten, der Länge wie der Breite nach gespalten. Sie repräsentiert die Liebe, die nach erfolgter Lossprechung zur Sühne und zu guten Werken drängt. Die dritte Stufe drückt schwer auf jene, scheint aus Porphyr, wie rote Feuergüsse, wie Blut, entsprudelnd einer offenen Vene. Sie ist das Symbol des unvergänglichen Erlösungswerks Christi und der unveränderlichen Festigkeit des Bußsakraments Darauf ruhen die beiden Füße des Gottesengels, der auf der Schwelle sitzt, die aus Diamant gefügt ist. Demütig fällt Dante nieder und schlägt sich dreimal an die Brust. Der Engel ritzt mit seinem Schwert sieben „P“ (von lat. peccatum „Sünde“) in Dantes Stirn. Sie stehen für die sieben Hauptlaster, fälschlich oft auch als die sieben Todsünden (peccatum mortiferum) bezeichnet. Diese sind aber keine Sünden im eigentlichen Sinn, denn Sünden sind augenblickliche, einzelne Verfehlungen, die im Emotionalen (Astralleib) wirken, wenn der Mensch einer momentanen Versuchung verfällt, während die Laster als dauerhafte, sich regelmäßig immer wieder geltend machende schlechte Angewohnheiten tief unterbewusst in den Lebenskräften (Ätherleib) leben. Die sieben Hauptlaster, von denen sich Dante auf den folgenden sieben Terrassen des Läuterungsberges befreien muss, sind, geordnet nach abnehmender Schwere:
Der Gegenstand der Gasdynamik sind schnelle Strömungen dichteveränderlicher Fluide, die bei Flugzeugen und in [[Düse]]n vorkommen. Diese Strömungen werden durch die [[Mach-Zahl]] M charakterisiert. Kompressibilität wird erst ab Machzahlen größer 0,2 bedeutsam, so dass dann hohe Reynolds-Zahlen vorliegen und Viskositätsterme und Gravitionskräfte vernachlässigbar sind. Die Strömungen sind auch schneller als der Wärmetransport, weswegen [[adiabatische Zustandsänderung]]en angenommen werden können. Die Gesetzmäßigkeiten werden mit der Stromfaden- und Ähnlichkeitstheorie abgeleitet. Ein besonderes Phänomen, das hier auftreten kann, ist die [[Stoßwelle]] und der [[Verdichtungsstoß]], dessen bekanntester Vertreter die [[Schallmauer]] ist.


Hochmut (Superbia), Neid (Invidia), Zorn (Ira), Trägheit des Herzens (Acedia), Geiz (Avaritia), Gier (gemeint ist hier die Schlemmerei; Gula) und Wollust (Luxuria).
=== Fluiddynamik ===
{{Hauptartikel|Fluiddynamik}}
[[Datei:StokesWelle.png|mini|Stokes’sche Welle mit [[Bahnlinie]]n (türkis) einiger Wasserteilchen]]


Mit dem goldenen und silbernen Schlüssel Petri öffnet der Engel das Tor und Dante und Vergil beginnen ihren Aufstieg.
Die Fluiddynamik ist das Teilgebiet, das sich mit bewegten Fluiden beschäftigt. Analytische Lösungen können hier nur durch Beschränkung auf eine oder zwei Dimensionen, auf Inkompressibilität, einfache Randbedingungen und auf kleine Reynolds-Zahlen erreicht werden, wo die Beschleunigungsterme gegenüber den Viskositätstermen vernachlässigt werden können. Zwar sind solche Lösungen praktisch wenig relevant, vertiefen jedoch trotzdem das Verständnis von Strömungsvorgängen.


=== 1. Kreis: Hochmut - Demut ===
Bei kleinen Reynoldszahlen vermag die Viskosität des Fluids kleine Fluktuationen der Strömungsvariablen zu dämpfen, so dass eine eventuell auch zeitabhängige, laminare Strömung dann stabil gegenüber kleinen Störungen ist. Mit zunehmender Reynolds-Zahl wird dieser Dämpfungsmechanismus überfordert und die laminare Strömung geht in eine irreguläre [[turbulente Strömung]] über. Die Turbulenzforschung erreicht Einsichten über solche Strömungen durch statistische Betrachtungen.
Dante und Vergil betreten den ersten Kreis des Purgatoriums, wo dem Hochmut vielfache Bilder der Demut entgegengehalten werden. Mühsam durchdringen die Wanderer eine Felsenschlucht mit zwei Seitenwänden wie Wellen, welche kommen oder fliehen. Sie kommen nur langsam weiter, bis sie endlich unbeschwert im Freien auf dem Band stehen, das den Berg umwindet. Ein Kranz von weißen, lebendig wirkenden Marmorbildern schmückt die steile Felswand des Berges mit Szenen der Demut. Beglückt sieht Dante zunächst den Engel der Verkündigung mit Maria. Ein weiteres Relief zeigt die Legende von Kaiser Trajan und der klagenden Witwe. Trajan (98-117 n.Chr.) galt als der beste und edelste römische Kaiser und soll nach der Legende durch die Gebete von Papst Gregor I. dem Großen (590-604) ins Paradiso eingelassen worden sein, nachdem ihm eine zweite, christliche, irdische Inkarnation ermöglicht wurde (siehe Paradiso 20). Dann sehen sie Büßer, die gebückt gehen, als wären sie mit schweren Steinen beladen und das Vaterunser beten. Umberto Aldobrandesco, ehemals Graf von Santafiore, ein stolzer toskanischer Raubritter, der sich durch seinen unerträglichen Hochmut dem Volk von Siena so verhasst machte, dass er in Campagnatico, einem Ort der Maremma, zuletzt ermordet wurde, weist ihnen den weiteren Weg. Vergil deutet auf den Boden, wo Skulpturen mit Beispielen bestraften Hochmuts zu sehen sind. Dante sieht die hellste aller Kreaturen – Luzifer – die, ausgestoßen, vom Himmel wie ein Blitz herniederstürzte und Arachne, die bereits als halbe Spinne im Netz hängt. Sie hatte sich damit gebrüstet, besser weben zu können als Pallas Athene und war zur Strafe in eine Spinne verwandelt worden – ein Bild für das lebendige Gedankenweben, das zum bloß intellektuellen (ahrimanischen) Spintisieren verkommen kann.


Ein Engel kommt, weiß gekleidet, mit weit gestreckter Arme Federndichte, und löscht mit einer Schwinge ein „P“ von Dantes Stirn. Indes sie nach oben steigen erklingen „Beati pauperes!“ – Gesänge („Selig sind, die da geistlich arm sind; denn ihrer ist das Himmelreich“ Mt 5,3). Beim Aufstieg zu den anderen Simsen wird Dante weitere Seligpreisungen aus der Bergpredigt hören. Dante fühlt sich von der Erdenschwere so sehr befreit, dass ihm das Steigen nun ganz leichtfällt. Erstaunt betastet Dante seine Stirn und wendet sich zu Vergil, der schmunzelnd zusieht und ihn aufklärt, dass der gute Wille mit jedem gelöschten P immer stärker hervortrete und der Aufstieg immer leichter werde, je mehr sich der Mensch durch die Läuterung der himmlischen Höhe verwandt mache.  
Bei großen Reynoldszahlen sind umgekehrt die Viskositätsterme gegenüber den Beschleunigungstermen klein und der Einfluss der Randbedingungen auf die Strömung ist auf wandnahe Bereiche beschränkt. Mit diesen beschäftigt sich die von [[Ludwig Prandtl]] begründete [[Grenzschichttheorie]].


=== 2. Kreis: Neid ===
Die [[Aerodynamik]] untersucht das Verhalten von Körpern in kompressiblen Fluiden (zum Beispiel Luft) und ermittelt Kräfte und Momente, die auf umströmte Körper wirken. Zur Aerodynamik gehört die Vorhersage der Windkräfte auf Gebäude, Kraftfahrzeuge und Schiffe.
Dante und Vergil erreichen den zweiten Kreis, wo sich die Neidischen läutern müssen. Geister kommen von allen Seiten auf die beiden zugeflogen, und laden sie zum Liebesmahl. Dann naht eine weinende Bettlerschar im Bußgewand. Jeder ist an des Nachbarn Schulter gelehnt und alle pressen sich an das Felsgemäuer. Ihre Augenlieder sind mit Eisendrähten zugenäht. Sapia aus Siena bereut den Hass auf ihre Heimatstadt und beschreibt ihr Verhalten in der Schlacht von Colle di Valdelsa (1269). Guido del Duca beklagt gemeinsam mit Rinier de Calboli den moralischen und politischen Verfall der Toskana und der Romagna. Dante gibt über seine Herkunft aus Florenz nur sehr ausweichend und umständlich verschlüsselt Auskunft. Plötzlich ertönt eine schrille Geisterstimme und mit schrecklich surrender Stimme, die sich zum Donnerknallen steigert, hört man Aglauros, die Tochter des Athenerkönigs Kekrops, die nach der Erzählung des Ovid ihrer Schwester Herse die Liebe des Hermes neidete, der sie deswegen versteinerte.


=== 3. Kreis: Zorn ===
Das Wissensgebiet um die Wellenbewegungen in Fluiden befasst sich mit zeitlichen ''und'' räumlichen Bewegungen eines Fluids um eine mittlere Ruhelage. Die [[Aeroakustik]] beschäftigt sich mit den Gesetzmäßigkeiten solcher Wellen – [[Schallwelle]]n – in der Luft. Die Hydromechanik unterscheidet u.&nbsp;a. die [[Schwerewelle]]n, die höheren Stokes-Wellen, siehe Bild, die kleinen [[Kapillarwelle]]n und die aperiodischen [[Soliton]]en. In der Fluiddynamik werden die Ursachen, Eigenschaften und die Grundgleichungen dieser [[Orbitalbewegung (Wasserwellen)|Wellenbewegungen]] untersucht.


Als Dante und Vergil zum dritten Kreis aufzusteigen beginnen, wo der Zorn besänftigt wird, blendet Dante die starke Helligkeit eines Engels, der das zweite „P“ von seiner Stirn löscht. Vergil versichert Dante, dass er später, nach vollzogener Läuterung, das helle Licht nicht nur leicht ertragen, sondern freudig begrüßen werde. Von unten erklingt das „Beati sunt misericordes!“ („Selig sind die Barmherzigen!“ Mt 5,7). Dante setzt sich und wird plötzlich von einem Traum fortgerissen, der ihm Bilder der Sanftmut zeigt. Er sieht, wie Maria den 12-jährigen Jesusknaben im Tempel wiederfindet und erlebt die Steinigung des Heiligen Stefan (Apg. 7, 55), der zum Herrn fleht, er möge seinen Peinigern vergeben. Es wird Abend. Dichter Rauch behindert die Sicht, lähmt den Atem und ätzt die Haut. Stimmen, die zum Gotteslamm um Frieden flehen, singen das „Agnus Dei“.  
[[Mehrphasenströmung]]en mit festen, flüssigen und/oder gasförmigen Anteilen sind die in der Natur und Technik am häufigsten auftretenden Strömungsformen und bekommen dadurch eine besondere Relevanz. Die Mischung kann einerseits bereits im Kontinuumsmodell dargestellt werden, so dass die Mischung in jedem Fluidelement vorliegt, was Vorteile bei der Betrachtung großskaliger Bewegungen hat. Andererseits kann die Strömung jeder Phase getrennt beschrieben werden und die Gesamtströmung ergibt sich dann aus der Interaktion der Phasen an ihren Grenzflächen. Hier stehen kleinskalige Effekte im Vordergrund.


==== Marco Lombardo über den Einfluss der Sterne auf das menschliche Schicksal ====
[[Sickerströmung]]en durch poröse Medien sind in der [[Hydrogeologie]] und der [[Filtertechnik]] von Interesse. Die [[Oberflächenspannung]], die sonst bei Strömungen von untergeordneter Bedeutung ist, ist hier für die Bewegung bestimmend. Weil der Porenverlauf der festen Phase unbekannt ist, kommen Modelle zum Einsatz, die in die [[Richards-Gleichung]] münden.


Marco Lombardo, ein edler Venezianer, geübter Hofmann und Freund Dantes nähert sich und ist höchst erstaunt Dante hier in seiner vollen leiblichen Gestalt anzutreffen. Dann spricht er über den Einfluss der Sterne auf die menschliche Seele, wie aber doch die Entscheidung zwischen Gut und Böse allein im freien Willen des Menschen läge.
=== Lineare Stabilitätstheorie ===
{{Hauptartikel|Lineare Stabilitätstheorie}}
[[Datei:Wavecloudsduval.jpg|mini|Kelvin-Helmholtz-Wirbel in der Atmosphäre hinter dem Monte Duval, Australien]]


{{Spalten|<poem>{{Zeile|67}} Ihr, die ihr lebt, sprecht immer nur, es müsse
Dieses Fachgebiet untersucht, inwieweit der Bewegungszustand einer Flüssigkeit stabil ist gegenüber kleinen Störungen. Betrachtet wird die Strömung an einer Grenzschicht, die zu einer Wand ([[Hydrodynamische Grenzschicht]]) oder zu einer Flüssigkeit mit anderen Eigenschaften liegen kann. Fluktuationen in dieser Grenzschicht können bei Instabilitäten zu qualitativ anderen Zuständen führen, die oftmals deutliche Strukturen aufweisen (siehe [[Kelvin-Helmholtz-Instabilität]] im Bild).
Der Himmel selber Schuld an Allem sein,
Als ob er euch gewaltsam mit sich risse.
{{Zeile|70}} Wär’s also, sprich, wo wäre nur ein Schein<ref>[70–72. Die göttliche Gerechtigkeit fordert die Willensfreiheit des Menschen, welche kein willenloser Einfluß der Gestirne beschränken darf. – Der Dichter zeigt sich mit diesem Gedanken und seiner folgenden Ausführung nicht nur als ein großer Gelehrter, sondern auch als ein wahrhaft denkender und aufgeklärter Forscher.]</ref>
Von freiem Willen? wie entspräch’s dem Rechte,
Daß Lust der Tugend folgt, dem Laster Pein?
{{Zeile|73}} ''Anstoß'' leih’n eurer Regung Sternenmächte;<ref>[73–81. Denn nicht einmal den Anstoß aller unserer Seelenregungen geben die Gestirne. Und immer bleibt dem Menschen die klare Selbstentscheidung, wodurch er sich zum Bundesgenossen einer „höheren Natur und Kraft“, der göttlichen Gnade machen kann, welche seinen Geist für ewig über die unbewußte Macht der Sterne stellt. („Die Freiheit in Christo“.)]</ref>
''Nicht jeglicher''; jedoch ''auch dies'' gesetzt.
So ward Erkenntniß euch für’s Gut’ und Schlechte
{{Zeile|76}} Und freier Wille, der, wenn er auch jetzt
Zuerst nur mühsam mit den Sternen streitet,
Vom Kampf gestählt, gewißlich siegt zuletzt.
{{Zeile|79}} Und seid ihr frei, so ist das, was euch leitet,
''Bess’re'' Natur und ''größre'' Kraft – ein Geist,
Dem keine Hindrung mehr ein Stern bereitet.
{{Zeile|82}} Drum, wenn die Welt mit sich der Irrthum reißt,
In euch nur liegt der Grund, liegt in euch Allen,
Wie, was ich sage, deutlich dir beweist: –
                                      (Purgatorio 16, 67-84)</poem>}}


Ähnliches hatte schon [[Thomas von Aquin]] in seiner [[Summe der Theologie]] vertreten:
=== Strömungsmesstechnik ===
{{Hauptartikel|Strömungsmesstechnik}}
[[Datei:Laser-Doppler.jpg|mini|2D-Laser-Doppler-[[Anemometer]] an einem [[Windkanal|Strömungskanal]]]]


{{Zitat|Die meisten Menschen folgen der Sinnlichkeit, auf welche die Himmelskörper Einfluß haben. Wenige sind weise, so daß sie den Leidenschaften widerstehen. Deshalb können die Astrologen in vielen Fällen Wahres vorhersagen, zumal wenn das Vorhersagen Allgemeines betrifft. Für ganz einzelne Handlungen jedoch können sie es nicht, weil jeder Mensch im einzelnen Falle der Leidenschaft widerstehen kann. Deshalb sagen auch die Astronomen selber, „der Weise beherrsche die Sterne,“ insoweit er nämlich seinen Leidenschaften widersteht.|[[Thomas von Aquin]]| [http://www.unifr.ch/bkv/summa/kapitel116-4.htm ''Summe der Theologie'' I, 115, 4]}}
Einsatzgebiete der Strömungsmesstechnik sind die Forschung und Entwicklung, wo es gilt, Strömungsvorgänge zu untersuchen oder zu optimieren. Die Strömungsmesstechnik ist aber auch eine wesentliche Komponente für die Prozessführung in industriellen Anlagen der Chemie- oder Energiewirtschaft. Verlässliche Informationen über Eigenschaften turbulenter Strömungen können nur durch die Strömungsmesstechnik erhalten werden.


=== 4. Kreis: Trägheit des Herzens ===
Von besonderem Interesse sind die grundlegenden Größen Geschwindigkeit, Druck und Temperatur. Messungen können mit in die Strömung eingebrachten Messsonden aufgenommen werden. [[Staudrucksonde]]n messen im Fluid den Gesamtdruck, aus dem indirekt auf die Geschwindigkeit rückgeschlossen werden kann. Die [[Thermische Anemometrie]] stellt eine weitere indirekte Geschwindigkeitsmessmethode dar. Der Nachteil an diesen indirekten Messungmethoden ist, dass das Messsignal nicht allein von der Geschwindigkeit, sondern auch von anderen Zustandsgrößen abhängt, die also bekannt sein müssen.


Ehe sie den vierten Kreis erreichen, wo die Trägheit überwunden werden muss, wird Dante wieder von der Helligkeit des Engels geblendet, der das dritte „P“ von seiner Stirne wischt, während zugleich „O selig, die den Frieden weitertragen!“ erklingt. Erschrocken bemerkt Dante, dass er zu lahmen, ja zu hinken beginnt und muss sich setzen.  
Verfahren wie die [[Particle Image Velocimetry]] und [[Laser-Doppler-Anemometrie]] (siehe Bild) gestattet die direkte und lokale Geschwindigkeitsmessung ohne Sonden. Insbesondere in der [[Aeroakustik]] interessieren nicht die Durchschnittswerte, sondern die Schwankungswerte des Drucks, insbesondere die [[spektrale Leistungsdichte]], die durch weitere [[Signalverarbeitung]] erhalten wird.


==== Vergil über die natürliche und die geistige Liebe ====
=== Numerische Strömungsmechanik ===
{{Hauptartikel|Numerische Strömungsmechanik}}
[[Datei:X-43A (Hyper - X) Mach 7 computational fluid dynamic (CFD).jpg|mini|Visualisierung einer CFD-Simulation der [[Boeing X-43]] bei [[Machzahl|Mach]]&nbsp;7]]


Vergil spricht nun über die natürliche und über die geistige Liebe und ihren Zusammenhang mit der freien Willenskraft und erklärt so den Aufbau des Läuterungsberges. Die natürliche Liebe kann nicht irren; die geistige kann durch den Gegenstand irren und führt dann im Verhältnis zum Nächsten zu Hochmut, Neid und Zorn (1. – 3. Kreis); die geistige Liebe kann aber auch durch das falsche Ausmaß irren und führt dann zu Trägheit, Geiz, Schlemmerei und Wollust (4. – 7. Kreis).  
Die Leistungsfähigkeit der Computer gestattet es, die Grundgleichungen in wirklichkeitsnahen Randwertproblemen zu lösen und die erzielten, realitätsnahen Resultate haben dazu geführt, dass die numerische Strömungsmechanik ein wichtiges Werkzeug in der Strömungsmechanik wurde. In der aerodynamischen Auslegung und Optimierung haben sich die numerischen Methoden etabliert, denn sie gestatten einen detaillierten Einblick in die Strömungsvorgänge, siehe Bild, und Untersuchung von Modellvarianten.


==== Die hässliche Sirene ====
Die aus der angewandten Mathematik bekannten Methoden zur Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen versehen vorbereitend das Strömungsgebiet mit einem „numerischen Gitter“. Potentialströmungen verlangen den geringsten Aufwand und auch die Euler-Gleichungen erlauben relativ grobe Gitter. Die bei Anwendung der Navier-Stokes-Gleichungen bedeutsamen Grenzschichten und Turbulenzen erfordern eine hohe räumliche Auflösung des Gitters. In drei Dimensionen steigt die Anzahl der Freiheitsgrade mit der dritten Potenz der Abmessung, so dass auch noch im 21. Jahrhundert der Aufwand für die [[Direkte Numerische Simulation]] bei Anwendungen in der Fahrzeugentwicklung nicht vertretbar ist. Daher kommen [[Turbulenzmodell]]e zum Einsatz, die die notwendige Auflösung zu reduzieren gestatten. Trotzdem sind oftmals Systeme mit mehreren zehnmillionen Gleichungen für mehrere tausend Iterations- oder Zeitschritte zu lösen, was eines [[Rechnerverbund]]s und effizienter [[Programmierung]] bedarf.


Schlaf beginnt Dante allmählich zu umfangen, aus dem er aber plötzlich durch rasendes Gedränge herausgerissen wird. Zwei Stimmen rufen wie aus qualgedrückten Lungen und geißeln die Trägheit durch Beispiele beherzter Tätigkeit. Schnell verschwinden die Schattengestalten wieder und Dante schließt schlaftrunken die Augen. Im Traum erscheint ihm die liebliche Sirene als die hässlichste aller Frauen. Sie lallt, schielt, hat krumme Beine, ist bleich und ihre die Arme tragen Krallenklauen - ein Sinnbild für die Laster des Geizes, der Schlemmerei und der Wollust, die auf den folgenden Kreisen des Läuterungsberges überwunden werden müssen. Eine gute Frau tritt an Dantes Seite. Sie steht für die die Klugheit, die den rechten Gebrauch der irdischen Güter lehrt. Entschlossen packt sie die Sirene und zerreißt ihre Kleider; der üble Dunst ihres Körpers bringt Dante zur Besinnung. Vergil drängt Dante weiter. Ein Engel mit offenen Flügeln empfängt sie. Er weist aufwärts und umfächelt Dante mit seinen Schwingen. Das vierte „P“ wird von Dantes Stirn gelöscht.
== Interdisziplinäre Arbeitsgebiete ==


=== 5. Kreis: Geiz - Verschwendung ===
=== Rheologie ===
{{Hauptartikel|Rheologie}}
Die Rheologie oder Fließkunde ist eine interdisziplinäre Wissenschaft, die sich mit dem Verformungs- und Fließverhalten von Materie beschäftigt, und berührt daher auch die Strömungsmechanik. Die ''phänomenologische Rheologie'' befasst sich mit der Formulierung von Materialmodellen, die ''Strukturrheologie'' trachtet danach, das makroskopische Materialverhalten aus der mikroskopischen Struktur der Stoffe zu erklären, und die ''Rheometrie'' stellt Messverfahren zur Bestimmung der rheologischen Eigenschaften, z.&nbsp;B. der [[Viskosität]], bereit.


Bald erreichen die Wanderer den fünften Kreis, wo die Geizigen gefesselt mit dem Rücken nach oben am Boden liegen. Eine dieser Seelen ist Papst Hadrian IV., der 1276 nach seinem nur etwa einmonatigen Pontifikat gestorben war und beklagt, wie sein Drang zum Guten im Habsuchtstaumel untergegangen sei. Dante kniet sich zu ihm nieder und verflucht die Habsucht. Dann fragt er nach dem kommenden Veltro, der die Wölfin – das Sinnbild des Geizes und der Gier – vertreiben werde. Die Zahl des Veltro - DXV (515) – ertönt ähnlich wie schon im ersten Gesang des Infernos. Da erscheint Hugo Capet, der Begründer des Kapetinger-Geschlechts, das die Karolinger abgelöst hatte und beklagt die unersättliche Besitzgier seines eigenen Geschlechts. Insbesondere geißelt er den gegenwärtigen französischen König Philipp IV. den Schönen, der die Päpste ins Exil nach Avignon gezwungen hatte und 1307 aus seiner Begierde nach Gold den Untergang des Templerordens eingeleitet hatte.
=== Fluidenergiemaschinen ===
{{Hauptartikel|Fluidenergiemaschine}}
Eine mit dem [[Maschinenbau]] zusammen arbeitende Disziplin sucht mit Integralformen der Grundgleichungen makroskopische Größen der Strömungen abzuleiten, wie Volumenströme, Kräfte, Arbeiten und Leistungen. Diese Größen sind in Ingenieursproblemen in Fluidenergiemaschinen von besonderem Interesse. Eine der ersten Resultate auf diesem Gebiet formulierte Leonhard Euler in der nach ihm benannten [[Eulersche Turbinengleichung|Euler’schen Turbinengleichung]].


==== Erdbeben - Statius ====
=== Mikrofluidik ===
{{Hauptartikel|Mikrofluidik}}
[[Datei:LLNL-microreactor.jpg|mini|Ein [[Chemischer Reaktor|chemischer Mikroreaktor]]]]


Während Dante und Vergil weiterziehen, erschüttert ein schweres Erdbeben den ganzen Berg. Ein Schatten kommt auf sie zu und gibt sich als der römische Dichter Publius Papinius Statius (um 40-96) zu erkennen. Er erklärt, dass der Berg nur dann und im vollen Einklang mit der himmlischen Ordnung erbebe, wenn eine Seele zum weiteren Aufstieg reif geworden sei. Er selbst habe 500 Jahre in den unteren Bereichen ausgeharrt, um nun, und zwar aus eigenem freiem Willen, höherzusteigen. Dann erzählt er von seinen eigenen Dichtungen und wieviel er dem Vorbild Vergils zu danken habe. Dante hört ihm schmunzelnd zu und stellt im dann seinen Begleiter vor. Ehrfürchtig sinkt Statius sinkt zu Vergils Füßen und schließt sich dann den Jenseitswanderern an.
Die Mikrofluidik ist das Teilgebiet der [[Mikrosystemtechnik]], das die Umströmung von Objekten oder Durchströmungen von Kanälen, bei Abmessungen kleiner als ein Millimeter, untersucht, siehe Bild. Die kontinuumsmechanische Behandlung von Strömungs- und Transportprozessen auf dieser Längenskala ist in vielen Fällen nicht ohne weiteres möglich. Es werden Korrekturen an den Gleichungen oder gar [[Molekulardynamik-Simulation]]en notwendig, um die Strömungsvorgänge korrekt wiederzugeben. Prominenter Anwendungsfall ist der Druckkopf eines [[Tintenstrahldrucker]]s. Aber auch der Aufbau eines vollständigen Analyselabors auf einem [[Die (Halbleitertechnik)|Chip]] ({{enS|[[Lab-on-a-chip]]}} für „Labor auf einem Chip“ oder ''micro-total-analysis system'' für „Mikro-vollständiges-Analyse-System“) erfordert die Kenntnis der Strömungs- und Transportprozesse auf der Mikroskala.<ref>{{Literatur |Autor=Nam-Trung Nguyen |Titel=Mikrofluidik. Entwurf, Herstellung und Charakterisierung |Verlag=Vieweg+Teubner Verlag |Datum=2004 |ISBN=978-3-519-00466-0}}</ref>


=== 6. Kreis: Gier ===
=== Bioströmungsmechanik ===
Die Bioströmungsmechanik befasst sich mit der Innen- und Umströmung von belebten Körpern, deren charakteristisches Merkmal unter anderem ist, von flexiblen und strukturierten Oberflächen berandet zu sein. Es wird die Fortbewegung von Einzellern, Kaulquappen und Fischen bis hin zu Walen im Wasser untersucht. Bei der Fortbewegung durch die Luft wird insbesondere der Vogelflug ergründet. Der Wärme- und Stofftransport in Lebewesen bei der Atmung, im Blut- und Lymphkreislauf und der Wasserkreislauf sind auch in der Medizin von Interesse.<ref>{{Literatur |Autor=H. Oertel |Titel=Bioströmungsmechanik. Grundlagen, Methoden und Phänomene |Auflage=2. |Verlag=Vieweg+Teubner |Datum=2012 |ISBN=978-3-8348-1765-5}}</ref>


Ein Engel löscht das fünfte „P“ von Dantes Stirn und weist sie zum sechsten Kreis, wo die Schlemmer für ihre Gier büßen. Statius berichtet indessen, dass er nicht des Geizes wegen solange im unteren Kreis ausharren musste, sondern wegen seiner Verschwendungssucht. Diese beiden spiegelbildlichen Laster müssen im gleichen Kreis getilgt werden. Aus Mitgefühl mit den unter Domitian verfolgten Christen sei er schließlich selbst in aller Stille zum Christentum übergetreten. Dante folgt den beiden Dichtern, die weiter miteinander sprechen und lauscht ihren Worten. Schließlich kommen sie zum Baum des Lebens, der sich nach unten zu verjüngt, genau umgekehrt wie bei einer Fichte. Seine Früchte riechen lieblich. Von oben tränkt ein klarer Wasserfall den Baum, aus dem eine Stimme ertönt und davor warnt, von diesen Früchten zu essen. Ausgemergelte Gestalten mit bleichen Wangen und finsteren Augenhöhlen eilen vorüber. Einer der Schatten starrt Dante an. Es ist Forese Donati, ein florentinischer Dichter, hemmungsloser Schlemmer und Freund Dantes. Dante ist erstaunt, ihn schon hier zu finden, da er die Schlemmerei erst in seiner Todesstunde bereut hatte und demnach noch lange Zeit im Vorpurgatorium harren müsste, bevor ihm die eigentliche Läuterung ermöglicht würde. Das sei nur den Tränen und frommen Bitten seiner treuen Gattin Nella zu verdanken, gesteht Forese. Dann entfernt er sich eilig, da hier die Stunden teuer seien. Dante kommt mit Vergil und Statius zu einem Baum, der ein Ableger des Baums der Erkenntnis ist. Viele Seelen umlagern ihn, die vergeblich seine Früchte zu erlangen suchen. Eine warnende Stimme erklingt aus dem Apfelbaum und drängt sie zum Weitergehen. Schließlich kommen sie zum Wächterengel, dessen Erscheinung Dante blendet und das sechste „P“ von seiner Stirne löscht.
=== Magnetohydrodynamik ===
{{Hauptartikel| Magnetohydrodynamik}}
Die Magnetohydrodynamik (MHD) berücksichtigt die elektrischen und magnetischen Eigenschaften von Flüssigkeiten, Gasen und [[Plasma (Physik)|Plasmen]] und untersucht zusätzlich die Bewegung unter Wirkung der vom Medium selbst erzeugten Felder und die Bewegung in äußeren Feldern. Die Bewegungsgleichungen sind die um elektrodynamische Kräfte erweiterten Euler-Gleichungen, deren Lösung sehr kompliziert werden kann. Durch weitere Annahmen können die Gleichungen jedoch vereinfacht werden, um ihre Lösung zu erleichtern. Die Annahme, dass die elektrische Leitfähigkeit des Plasmas unendlich groß ist, es daher also keinen elektrischen Widerstand besitzt, führt auf die „Ideale MHD“ im Gegensatz zur „resistiven MHD“ mit endlicher Leitfähigkeit. Typische Anwendungsgebiete der Magnetohydrodynamik sind die Strömungsbeeinflussung und die Strömungsmessung in [[Metallurgie]] und [[Halbleiter]]-[[Einkristall]]<nowiki />züchtung sowie die Beschreibung von Plasmen in [[Atmosphäre (Astronomie)|stellaren Atmosphären]] und [[Fusionsreaktor]]en.<ref>{{Literatur |Autor=Peter A. Davidson |Titel=An introduction to magnetohydrodynamics |Verlag=Cambridge Univ. Press |Ort=Cambridge |Datum=2006 |ISBN=978-0-521-79487-9}}</ref>


==== Statius über die irdischen und die jenseitigen Leiber ====
== Kontinuumsmechanische Grundlagen ==
Strömungen können aus den Augen der [[Statistische Mechanik|statistischen Mechanik]] als Partikelströme oder als [[Kontinuumsströmung]]en betrachtet werden. Letzterer Ansatz kommt aus der [[Kontinuumsmechanik]],<ref>{{Literatur |Autor=Peter Haupt |Titel=Continuum Mechanics and Theory of Materials |Verlag=Springer |Datum=2002 |ISBN=3-540-43111-X}}</ref> in der vom molekularen Aufbau der Fluide abgesehen wird und sie als Kontinuum angenähert werden, in dem die physikalischen Eigenschaften kontinuierlich über den Raum verschmiert sind. Dieser phänomenologische Ansatz erlaubt effizient realitätsnahe Vorhersagen zu formulieren. Die für die Strömungsmechanik relevanten kinematischen, physikalischen und konstitutiven kontinuumsmechanischen Gleichungen werden im Folgenden zusammengefasst.


{{Siehe auch|Göttliche Komödie/Purgatorio#Der Leib der Toten|titel1=Der Leib der Toten}}
=== Kinematik ===
Die Strömungsmechanik benutzt die [[eulersche Betrachtungsweise]], die die an einem festen Raumpunkt vorhandenen physikalischen Größen untersucht. Weil sich die physikalischen Gesetze auf materielle Punkte (hier: Fluidelemente) und nicht auf Raumpunkte beziehen, muss bei der Zeitableitung die [[substantielle Ableitung]] benutzt werden. Diese besteht aus einem lokalen und einem konvektiven Anteil:


Während des Aufstieg in den siebenten Kreis, wo die Wollüstigen büßen, belehrt Statius nun Dante über die Entstehung des Leibes und der Seele und über das Wesen der jenseitigen Schattenleiber und warum diese auch hier noch Hunger und Durst fühlen. Es sei die Seele, die schon im Erdenleben den Leib forme, und diese Formkraft ginge auch nach dem Tode, wenn Lachesis den Lebensfaden versponnen hat, nicht verloren. Zwar sei hier der Leib nicht aus dichten Stoffen, sondern aus Luft gewoben und darum völlig durchsichtig, doch blieben die sinnlichen Begierden und Leidenschaften auch hier noch bis zu ihrer vollständigen Läuterung mit voller Kraft erhalten.
: <math>\dot f
:=\frac{\mathrm{D}f}{\mathrm{D}t}
:=\frac{\partial f}{\partial t}+\operatorname{grad}(f)\cdot\vec v
=\frac{\partial f}{\partial t}+(\vec{v}\cdot\nabla)f
\,.</math>


=== 7. Kreis: Wollust ===
Das vom Fluid transportierte Feld f kann [[Skalar (Mathematik)|skalar-]] oder [[vektor]]wertig sein und hängt wie die Geschwindigkeit vom Ort und der Zeit ab. Die [[partielle Ableitung]] <math>\tfrac{\partial f}{\partial t}</math> ist die ''lokale Ableitung'', d.&nbsp;h. die an einem festen Raumpunkt zu beobachtende Änderungsgeschwindigkeit, und der zweite Term mit dem [[Gradient (Mathematik)|Gradienten]] grad oder dem [[Nabla-Operator]] <math>\nabla</math> ist der ''konvektive Anteil''. Im Fall einer vektoriellen Größe <math>\vec f</math> wird in der Strömungsmechanik die Schreibweise mit dem [[Gradient (Mathematik)#Vektorgradient|Vektorgradient]] <math>(\vec{v}\cdot\nabla)\vec{f}</math> bevorzugt.


Sie erreichen schließlich den siebenten Kreis, wo sie sich wie üblich nach rechts wenden. Die Wollüstigen büßen hier im Feuer. Der Wind bläst nach oben, das Feuer schont so die Außenkante. Die Büßer singen den Hymnus „Clementiae Summae Deus“ („O Gott der höchsten Milde …“), in dem um die Befreiung von der bösen Lust gebeten wird. Dann erkling lautstark mit „Non cognosco virum“ die bekannten Worte Marias bei der Verkündigung (Lk 1,34): „Wie soll das zugehen, sintemal ich von keinem Manne weiß.“
In der Strömungsmechanik ist die Geschwindigkeit <math>\vec v</math> die primäre Unbekannte und ihr Gradient, der [[Geschwindigkeitsgradient]]
Wieder staunen die Seelen über Dantes dichte körperliche Erscheinung. [[Guido Guinizelli]], der Begründer des «Süßen Neuen Stils», spricht Dante diesbezüglich an. Von allen Seiten drängen sich zur Buße die Schatten verschiedenen oder gleichen Geschlechts eng zusammen, sich zu küssen, und huschen weiter, satt von diesem Gruß. Dann beginnen sie laut „Sodom und Gomorrha!“ zu schreien und verdammen alle Sünden der Wollust.
Außerhalb der Flammen naht ein Engel mit den Worten „Beati mundo corde“ („Selig, die reinen Herzens sind.“ Mt 5,8) und fordert die Wanderer auf, die Feuerwand zu durchschreiten. Starr vor Schauer bleibt Dante stehen. Erst als ihm Vergil erzürnt klarmacht, dass nur der Weg durch die Flammen zu Beatrice führt, tritt Dante mit Statius und Vergil ein. Die Stimme des Engels ertönt aus dem hellen Licht: „O benedicti Patris mei, venite!“ („Kommet her, ihr Gesegneten meines Vaters.“ Mt 25,34).


Sie steigen durch die tiefe Felsenrinne gen Osten aufwärts und legen sich dann ermattet nieder. Über ihnen wölbt sich der Himmel mit den Sternen. Die Venus steht im Osten. Dante versinkt in Schlaf. Im Traum sieht er auf einer weiten Wiese ein schönes Weib beim Blumenpflücken. Es ist Lea, die Schwester der Rahel, die hier als Symbol des tätigen Lebens (vita activa) erscheint (Rahel steht für das beschauliche Leben, vita contemplativa). Mit wohligem Empfinden erwacht Dante und Vergil führt in die letzten Stufen hinauf und verabschiedet sich mit den Worten: „Zu deinem eignen Herrn darf ich dich krönen.“  - ganz allein sein eigener freier Wille muss von nun an Dante weiterführen.
: <math>\mathbf{l}:=\operatorname{grad}\vec v
=\begin{pmatrix}
\frac{\partial v_x}{\partial x}& \frac{\partial v_x}{\partial y}& \frac{\partial v_x}{\partial z}
\\
\frac{\partial v_y}{\partial x}& \frac{\partial v_y}{\partial y}& \frac{\partial v_y}{\partial z}
\\
\frac{\partial v_z}{\partial x}& \frac{\partial v_z}{\partial y}& \frac{\partial v_z}{\partial z}
\end{pmatrix}
</math>


=== Das irdische Paradies ===
ist eine zentrale Größe bei der Beschreibung von Strömungsvorgängen. Die Geschwindigkeitskomponenten <math>v_{x,y,z}</math> beziehen sich auf ein [[kartesisches Koordinatensystem]] mit x-, y- und z-Koordinaten. Für ein Fluidelement mit (infinitesimal) kleinem Volumen dv ergibt sich die Volumenänderungsgeschwindigkeit


Dante betritt nun den Wald des irdischen Paradieses und sieht jenseits des Lethestroms die blumenpflückende Matelda. Sie war, äußerlich gesehen, wahrscheinlich eine Freundin Beatrices, die Dante einst zu Beatrice führte. Matelda entspricht aber im tieferen Sinn der Göttin Natura, die in noch viel umfangreicherer Form von den großen Lehrern der Schule von Chartres und zuletzt noch von Dantes Lehrer Brunetto Latini im „Tesoretto“ besungen wurde, und ist eng verbunden mit den aus dem Weltenäther strömenden Lebenskräften und auch mit dem Lebensleib (Ätherleib) des Menschen, der der eigentliche Gedächtnis-Träger ist. Der Lethestrom löscht die Erinnerung an die Verfehlungen des Erdenlebens und macht das Bewusstsein frei für das reine geistige Erleben, das dann durch den Trunk aus der Eunoe, der anderen Seite der Lethe, geweckt wird. In der Göttin Natura lebte in christlich erneuerter Form der Persephone-Mythos fort. Der Lebensleib wurde von Rudolf Steiner auch als Liebeleib bezeichnet. Liebe ist nicht nur ein Gefühl, sondern eine lebendig-belebende lebensspendende Kraft. Matelda ist daher hier auch ein Symbol für die christliche Liebe.
:<math>\frac{\mathrm{D}}{\mathrm{D}t}(\mathrm{d}v)
Matelda kommt näher, bis sie nur mehr der kaum drei Schritte breite Lethestrom trennt, den aber Dante jetzt noch nicht überschreiten kann. Matelda klärt Dante darüber auf, dass hier die Lüfte von der ersten Drehung des Himmels bewegt werden und wie die Bäume den Lüften ihre Samen mitgeben und so grünendes Leben dem Erdental spenden. Aus Gottes Willen entspringt eine Quelle, die zwei Arme speist, die den Paradieseswald umrunden. Auf dieser Seite fließt die Lethe, auf der anderen Eunoe.
=\operatorname{Sp}(\mathbf{l})\,\mathrm{d}v
\,.</math>


==== Der allegorische Triumphzug der Kirche ====
Die [[Spur (Mathematik)|Spur]] Sp des Geschwindigkeitsgradienten ist somit ein Maß für die Volumenänderungsgeschwindigkeit, die auf Grund der Massenbilanz unten mit einer Dichteänderung einher geht. Die Spur ist gleich der [[Divergenz eines Vektorfeldes|Divergenz]] div des [[Geschwindigkeitsfeld]]es: <math>\operatorname{Sp}(\mathbf{l})=\operatorname{div}(\vec v)\,.</math> Der Geschwindigkeitsgradient kann additiv in einen [[Symmetrische Matrix|symmetrischen]] Anteil '''d''' und einen [[Schiefsymmetrische Matrix|schiefsymmetrischen]] Anteil '''w''' zerlegt werden:


Als sie am Rand des Baches flussaufwärts weiterschreiten, durchleuchten Lichter wie Blitze den Wald und süße Melodien erklingen. Es naht der allegorische Triumphzug der Kirche. Vornweg erscheinen sieben goldene Leuchter, vom hellen Hosianna-Ruf begleitet. Die sieben Leuchter entsprechen den sieben Geistern Gottes (Off 1,4, Off 3,1, Off 4,5 und Off 5,6) oder auch den sieben Gaben des Heiligen Geistes bzw. den sieben Freien Künsten (Grammatik, Rhetorik, Dialektik, Arithmetik, Geometrie, Musik, Astronomie). Die sieben Gaben des Heiligen Geistes sind aus katholischer Sicht: Weisheit, Einsicht, Rat, Stärke, Erkenntnis, Frömmigkeit und Gottesfurcht. Flammen in sieben regenbogenfarbigen Streifen folgen in Zweierreihe vierundzwanzig Greise, bekrönt mit weißen Lilienkränzen. Es sind die 24 Ältesten aus der Offenbarung des Johannes und entsprechen zugleich auch den 24 Büchern des Alten Testaments. Die Lilienkränze sind ein Symbol der Reinheit und des Glaubens an den kommenden Erlöser. Es folgen die vier Evangelisten-Tiere (Stier, Löwe, Adler, Mensch) mit je sechs Flügeln, die Augen tragen. Zwischen den Tieren wir Wagen auf zwei Rädern von einem Greif gezogen, der den Körper eines fleischfarbenen Löwen und dem Kopf eines goldenen Adlers hat. Er ist ein Symbol für den Christus; der goldene Adlerteil repräsentiert seine göttliche, der fleischfarbene Löwenteil seine menschliche Natur. Vor dem rechten Rad tanzen drei Frauen; die erste rot, die zweite wie aus edelstem Smaragd, die dritte weiß wie der Neuschnee. Sie stehen für die christlichen Tugenden: Liebe, Hoffnung und Glaube. Auf der linken Seite tanzen vier Frauen in schönstem Purpurkleid. Es sind die vier Kardinaltugenden: Gerechtigkeit, Starkmut, Besonnenheit (Mäßigung) und Klugheit (sie hat drei Augen, mit denen sie Vergangenheit, Gegenwart und Zukunft überschaut). Ihnen folgen zwei Ergraute als Symbole für die Apostelgeschichte und für die Paulusbriefe, dann vier Demutsvolle, die auf die Briefe der Apostel Petrus, Johannes, Jakobus und Judas Thaddäus hinweisen und ein Greis für die Offenbarung des Johannes. Um ihr Haupt ist ein Kranz von roten Rosen wie auch anderen roten Blüten gewunden ist. Zusammen repräsentieren sie das Neue Testament. Die roten Rosen und die anderen roten Blüten stehen für die Liebe.  
: <math>
\mathbf{l}=\mathbf{d+w}
\quad\text{mit}\quad
\mathbf{d}:=\frac{1}{2}(\mathbf{l+l}^\top)
\quad\text{und}\quad
\mathbf{w}:=\frac{1}{2}(\mathbf{l-l}^\top)\,.
</math>


==== Beatrice ====
Das Superskript <math>\top</math> bezeichnet die [[Transponierte Matrix|Transposition]]. Der symmetrische Anteil '''d''' ist der [[Geschwindigkeitsgradient#Dehn- und Schergeschwindigkeiten|Verzerrungsgeschwindigkeitstensor]], mit dem sich mit
[[Datei:Dante Gabriel Rossetti - Salutation of Beatrice - 2.jpg|mini|250px|Dantes Begegnung mit Beatrice im Garten Eden, [[Wikipedia:Dante Gabriel Rossetti|Dante Gabriel Rossetti]] (1859)]]


Als endlich das Gespann anhält, ertönt ein Donnerschlag. Das Nordgestirn, der kleine Bär mit seinen sieben Sternen, steht still. Eine Engelsstimme singt dreimal: „O steig vom Libanon zum Tale, du meine Braut!“ Die Seligen schlüpfen aus dem Schoß der Erde und singen: „Benedictus es, qui venis“ („Gelobet seist du, der du kommst.“). Dann streuen sie Lilien nach allen Seiten und singen dabei: „O manibus nunc date lilia plenis!“ („O spendet nun mit vollen Händen Lilien.“).
:<math>\dot{\varepsilon}_{1}:=\hat{e}_1\cdot\mathbf{d}\cdot\hat{e}_1
\quad\text{und}\quad
\dot{\gamma}_{12}:=2\hat{e}_1\cdot\mathbf{d}\cdot\hat{e}_2
</math>


Mit weißem Schleier erscheint auf dem Wagen inmitten der Blumenwolke Beatrice, olivenzweigumschlungen; unter dem grünen Mantel ist ihr rotes Kleid erkennbar (das sind die Farben der drei christlichen Tugenden Glaube, Hoffnung und Liebe). Ohne sie noch zu erkennen, ist Dante von ihrer Tugendkraft überwältigt und will sich wie üblich zu Vergil wenden. Betroffen bemerkt er erst jetzt, dass sein verehrter Meister entschwunden ist. Gebieterisch, mit strenger Stimme gibt sich Beatrice zu erkennen, legt aber den Schleier noch nicht ab. Sie zählt, zu den Seligen gewendet, schonungslos alle Vergehen Dantes auf. Betroffen versagt Dante die Stimme, nur ein schwaches „Ja“ entringt sich seiner Kehle. Ungeduldig setzt Beatrice ihre strenge Strafpredigt fort. Dante ist von Reue ergriffen. Matelda tritt zu ihm und taucht ihn bis zum Mund ins Wasser der Lethe. Die Seligen singen. Matelda drückt Dantes Kopf unters Wasser und er nimmt einen tiefen Schluck. Dann führt sie ihn in den Reigen der vier Schönen, der Kardinaltugenden, die ihn zum Wagen mit dem Greif geleiten. Der Greif, leuchtend als ob ein Spiegel Sonnenglut verschickt, verwandelt sich beständig – ein Urbild, welches kaum sich rührte, jedoch sein eignes Abbild ständig wechselt. Als die drei christlichen Tugenden Beatrice bitten, sie möge Dante den ersehnten heiligen Anblick gewähren, legt sie ihren Schleier ab.
die Dehnungsgeschwindigkeit <math>\dot{\varepsilon}_{1}</math> in <math>\hat{e}_1</math>-Richtung und die [[Schergeschwindigkeit]] <math>\dot{\gamma}_{12}</math> in der 1-2-Ebene berechnet, die von zueinander senkrechten Einheitsvektoren (mit der Länge eins) <math>\hat{e}_{1,2}</math> aufgespannt wird. Der schiefsymmetrische Anteil '''w''' ist der ''Wirbeltensor'', dem über


Der Triumphzug setzt sich wieder in Bewegung; Dante folgt mit Statius dem Wagen Beatrices. Sie kommen zum entblätternden Baum der Erkenntnis, wo Beatrice vom Wagen steigt. Alle murmeln klagend „Adam“. Der Greif bindet die Deichsel des Wagens an den Stamm des Baums der Erkenntnis. Der Baum blüht auf, ringsum bedeckt mit lilafarbenen Sprossen. Dante versinkt in Schlaf. Erwachend erlebt er, wie einst die Apostel Jakobus, Petrus und Johannes, die Verklärung Christi. Matelda tritt zu ihm. Der Triumphzug mit dem Greifen hat sich mittlerweile zum Himmel erhoben.
: <math>\mathbf{w}\cdot\vec u =: \vec\Omega\times\vec u \quad\forall\vec u</math>
Da stößt mit rasender Bewegung ein Adler, der Vogel Jupiters und Symbol der römischen Kaiser, unter deren Herrschaft die Christenverfolgungen stattfanden, auf den Baum herab, knickt Blüten und Blätter und zernagt die Rinde. Mit aller Kraft reißt er am Wagen, der wie ein Schiff auf sturmbewegter See hin- und hergeworfen wird. Ein Fuchs, als Symbol für die Irrlehren, beschleicht den Wagen, begierig nach bester Speise um sich spähend, doch Beatrice verjagt ihn. Wieder stürzt der Adler auf den Wagen nieder und lässt gar viele Federn vom Gefieder.


Plötzlich scheint die Erde aufzubrechen und ein Drache dringt hervor, der mit seinem Stachelschwanz den Wagen durchsticht und zerbricht. Die Reste des heiligen Fahrzeugs werden von Unkraut überwuchert. Dann verwandelt sich der Wagen zu einem Ungeheuer mit sieben Köpfen (Off 17,1-18), drei vorne, mit je zwei Hörnern wie Stierhörner, und vier, sich aus den Kanten reckend, mit jeweils einem Horn. Die sieben Köpfe entsprechen hier den sieben Hauptlastern: Hochmut, Neid, Zorn, Trägheit, Geiz, Völlerei und Wollust. Darauf sitzt mit entblößten Brüsten eine ausgelassene Dirne, die mit einem Riesen buhlt. Nachdem sich beide heftig küssen, hebt er die Peitsche, schlägt sie und reißt den Wagen vom Baum los und verschwindet mit ihm im Wald.
ein Vektor <math>\vec\Omega</math> zugeordnet werden kann, der im Fall des Wirbeltensors ''[[Winkelgeschwindigkeit]]'' genannt wird und die Drehgeschwindigkeit der Fluidelemente um sich selbst angibt. Nach obiger Definition berechnet sich


Die sieben Tugenden, Matelda, Statius und Dante folgen Beatrice, die sich vom Baum der Erkenntnis entfernt und das Kommen des Veltro», des DXV (515), prophezeit, der die Erlösung bringen werde.
:<math>\vec\Omega=\frac{1}{2}\operatorname{rot}\vec v\,.</math>


Die Gemeinschaft wandert weiter und erreicht schließlich Quelle der vier Paradiesesströme: Pischon, Gihon, Hiddekel (Tigris) und Perat (Euphrat). Matelda führt Dante und Statius zu Eunoe. Das Bad und der Trunk aus Eunoe (vermutlich abgeleitet von griech. εὐ, eu, „schön, gut“ und νοεῖν, noeín, „denken“, also „schön bzw. gut denken“ „das Geistige vernehmen“) erneuert Dantes Erinnerung an alle seine guten Taten. Es ist der „Gedächtnistrank“ der Eingeweihten. Damit ist Dante bereit und rein zum Aufstieg nach den Sternen.
Die [[Rotation (Mathematik)|Rotation]] rot des Geschwindigkeitsfeldes wird als ''[[Wirbelstärke]]'' oder ''Wirbelvektor'' bezeichnet:


== Einzelne Motive ==
:<math>\vec\omega:=\operatorname{rot}\vec v=2\vec\Omega\,.</math>
Jedem [[Einweihungsweg]] muss eine gründliche [[Läuterung]], eine [[Katharsis]], vorangehen, durch die sich der Mensch von jenen seelischen Schwerekräften befreit, die ihn an das nur irdische Dasein fesseln. Dante macht diese Reinigung beim Aufstieg auf den Läuterungsberg durch. Auf sieben Stufen wird die Seele von den 7 [[Hauptsünden]] befreit.


Anschließend an die Läuterung muss Dante die für jede [[Einweihung]] typischen [[Proben]] bestehen, wie sie Rudolf Steiner auch in «[[Wie erlangt man Erkenntnisse der höheren Welten?]]» schildert:
Gelegentlich wird auch <math>\vec\omega=\tfrac{1}{2}\operatorname{rot}\vec v</math> definiert, was keinen wesentlichen Unterschied ausmacht.


===Feuerprobe===
=== Naturgesetze ===
[[Bild:Dante_Fire.jpg|thumb|250px|[[Wikipedia:William Blake|William Blake]]: Dante betritt das Feuer]]
Die [[Kontinuumsmechanik]] formuliert die folgenden, an jedem Fluidelement geltenden Naturgesetze:
[[File:Beatrice Addressing Dante (by William Blake).jpg|thumb|250px|[[Wikipedia:William Blake|William Blake]]: Beatrice spricht zu Dante]]


{{Siehe auch|Feuerprobe}}
# Massenbilanz: <math>\frac{\partial}{\partial t}\rho +\operatorname{div}(\rho \vec{v})
= \frac{\partial \rho}{\partial t} + \operatorname{grad}(\rho)\cdot \vec{v}
+ \rho\,\operatorname{div}(\vec{v})
= \dot{\rho} + \rho \operatorname{div}(\vec{v})
=0</math>
# Impulsbilanz: <math>\rho\dot{\vec v}
=\rho\left[\frac{\partial}{\partial t}\vec{v}+\operatorname{grad}(\vec{v})\cdot\vec{v}\right]
=\rho\left[\frac{\partial}{\partial t}\vec{v}+(\vec{v}\cdot\nabla)\vec{v}\right]
=\rho\,\vec{k}+\operatorname{div}(\boldsymbol{\sigma})
\,,</math> und
# Energiebilanz: <math>\dot{u}=\frac{1}{\rho}\boldsymbol{\sigma}:\mathbf{d}
-\frac{1}{\rho}\operatorname{div}\;\vec{q}+r\,.</math>


Ein strahlende Engel lädt Dante ein, die Flammenwand zu durchschreiten. Dante muss die [[Feuerprobe]] bestehen. Das geistige Feuer "verbrennt" den Schleier der sinnlichen Welt und die geistigen Urbilder der äußeren Welt leuchten für den imaginativen Blick auf. Das ist eben nur möglich, wenn zuvor auch die letzten Reste der sinnlichen Begierde abgestreift wurden – denn eben diese webt den Sinnesschleier.  
Darin sind ρ die [[Dichte]], <math>\vec{k}</math> eine Schwerebeschleunigung, <math>\boldsymbol{\sigma}</math> der Cauchy’sche [[Spannungstensor]], u die [[innere Energie]], <math>\vec{q}</math> der Wärmestrom, <math>r</math> innere Wärmequellen z.&nbsp;B. aus Phasenübergängen, „<math>\cdot</math>“ das [[Frobenius-Skalarprodukt]] von Vektoren und „:“ dasjenige von Tensoren. Die Drehimpulsbilanz reduziert sich auf die Forderung nach der Symmetrie des Spannungstensors <math>(\boldsymbol{\sigma}=\boldsymbol{\sigma}^\top)\,.</math>


Man muss aber auch verstehen lernen, was man sieht. Zur [[Imagination]] tritt die [[Inspiration]] hinzu. Man lernt die Stimmen der geistigen Welt zu vernehmen. Angesichts der lodernden Feuerwand vernimmt Dante die Worte des Engels:
=== Materialmodelle ===
Abgeschlossen wird das System aus kinematischen und Bilanzgleichungen durch ein [[Materialmodell]] des Fluids, das den Spannungstensor in Abhängigkeit von dem Verzerrungsgeschwindigkeitstensor, der Dichte oder weiteren Konstitutivvariablen spezifiziert. Das Materialmodell der klassischen Materialtheorie für das linear viskose oder [[Newtonsches Fluid|newtonsche Fluid]]


<center>
:<math>\boldsymbol{\sigma}
{|
=-p(\rho)\mathbf{I}+2\mu \mathbf{d}+\lambda \operatorname{Sp}(\mathbf{d})\mathbf{I}
|-
</math>
| <poem>{{Zeile|7}} Er sang am Felsrand, außerhalb der Lohe:
„Beglückt, die reines Herzens sind!“ – und mehr<ref>[8. Passender Gesang beim Austritt aus dem ''siebenten'' Kreise und damit aus ''dem Fegefeuer überhaupt.'']</ref>
Als menschlich war sein Ton, der mächt’ge, frohe.
{{Zeile|10}} Drauf: „Weiter nicht, ihr Heil’gen, bis vorher
Die Glut euch nagte! Tretet in die Flammen,
Und seid nicht taub dem Sang von dortenher!“
{{Zeile|13}} Dies Wort ertönte jetzt, da wir zusammen
Uns ihm genaht, so schrecklich in mein Ohr,
Als hört’ ich mich zum schwersten Tod verdammen.
{{Zeile|16}} Ich sank auf die gefalt’nen Hände vor,<ref>16. Durch obige Verse wird zugleich das Vorbeugen des Oberleibes und das Vorstrecken der gefalteten Hände höchst plastisch ausgedrückt, eine Geberde der Angst und der ablehnenden Bitte.</Ref>
Ins Feuer schauend, – wen ich brennen sehen,
Deß Bild stieg itzt vor meinem Geist empor.
                                  (Purgatorio 27,7-18)</poem>
|}
</center>


Die Inspiration zu erleben, ist gleichbedeutend damit, dass man lernt die [[okkulte Schrift]] zu lesen. Das ist gleichsam die Gebärdensprache der geistigen Welt. Es sind keine ausgedachten Symbole, sondern diese geistige Schrift entspricht genau den Kräften, die in der geistigen Welt wirksam sind. In dieser geistigen Zeichensprache kann man die geistige Welt viel unmittelbarer erfassen und beschrieben als in sinnlichen Gleichnissen – das ganze imaginative Erleben, das bis dahin ein bildhaftes, aber sinnlich-bildhaftes Erleben war, ändert und vertieft sich dadurch.
ist das, in der Strömungsmechanik hauptsächlich benutzte Materialmodell. Darin sind p der im Allgemeinen von der Dichte ρ abhängige Druck, λ und μ die ersten und zweiten [[Lame-Konstanten#Strömungslehre|Lamé-Konstanten]] und '''I''' der [[Einheitstensor]]. Der Verzerrungsgeschwindigkeitstensor ist im Allgemeinen voll besetzt und dann treten geschwindigkeitsabhängige Schubspannungen auf, die sich makroskopisch als Viskosität bemerkbar machen. In Kombination mit der Impulsbilanz liefert dieses Modell die [[Navier-Stokes-Gleichungen]]. Weil der Druck, die Dichte und der Verzerrungsgeschwindigkeitstensor objektiv sind (siehe [[Euklidische Transformation]]), sind die Navier-Stokes-Gleichungen invariant gegenüber einem [[Bezugssystem#Wechsel des Bezugssystems|Wechsel des Bezugssystems]].


=== Das irdische Paradies ===
Im wichtigen Sonderfall der [[Inkompressibilität]], die bei Strömungsgeschwindigkeiten weit unterhalb der [[Schallgeschwindigkeit|Wellenausbreitungsgeschwindigkeit]] im Fluid in guter Näherung angenommen werden kann, vereinfacht sich diese Gleichung zu


<div style="margin-left:20px">
:<math>\boldsymbol{\sigma}=-p\mathbf{I}+2\mu \mathbf{d}</math>
"Als nächstes Gebiet zwischen Fegefeuer und Himmel kommt
Dante in den Garten Eden. Dort werden wir in die Anschauungsweise
eingeführt, die die eigentlich christliche ist: wie der Ursprung
der Kirche im Geistigen ruht. Wer im Sinne des Mittelalters verstehen
will, wie die Kirche sein soll, muß sich hinauforganisieren dahin,
ihr Urbild im Jenseits zu sehen. Das führt Dante im Hinblick
auf die Weltanschauung des ''Dionysius Areopagita'' von den himmlischen
Hierarchien aus. Eine Stufenfolge gibt es da, die Dionysius
bezeichnet: Engel, Erzengel, Urkräfte, Gewalten, Mächte, Herrschaften,
Throne, Cherubim, Seraphim. Die Stufenfolge der weltlichen
Hierarchie der Kirche sollte ein Abbild dieser himmlischen Hierarchien
sein. Das stellt Dante im Garten Eden dar, wo uns die Hierarchien
symbolisch entgegentreten." {{Lit|{{G|097|34}}}}
</div>


Nachdem Dante durch das Feuer geschritten ist, trifft er zunächst auf [[Matelda]]. Matelda entspricht der [[Göttin Natura]], die in noch viel umfangreicherer Form von den großen Lehrern der [[Schule von Chartres]] besungen wurde, und ist eng verbunden mit den aus dem [[Weltenäther]] strömenden [[Lebenskräfte]]n und auch mit dem [[Ätherleib]] des [[Mensch]]en, der der eigentliche [[Gedächtnis]]-Träger ist. Sie steht darum auch in enger Beziehung zum [[Ätherleib]] des [[Mensch]]en, wohingegen [[Beatrice]], die Dante durch das [[Paradiso]] führt, mit dem geläuterten und zum [[Geistselbst]] verwandelten [[Astralleib]] zusammenhängt, der in der [[christlich]]en [[esoterisch]]en Terminologie auch als [[Jungfrau Sophia]] bezeichnet wird. In der Göttin Natura lebte in [[christlich]] erneuerter Form der [[Persephone-Mythos]] fort.
und der Druck p ergibt sich nicht mehr aus einer konstitutiven Beziehung, sondern allein aus den Randbedingungen und der Impulsbilanz. Bei großen Reynoldszahlen oder abseits von Grenzschichten können die viskosen Anteile vernachlässigt werden:


<div style="margin-left:20px">
:<math>\boldsymbol{\sigma}=-p(\rho)\mathbf{I}\,.</math>
"Dann übernimmt Beatrice die Führung. In der Seele unterscheiden
wir ein weibliches Element, das innere Seelenwesen, und ein
männliches Element, das Geistige im Universum, das die Seele befruchtet.
Die weibliche Seele zieht uns hinan. Die mittelalterlichen
Alchimisten nannten das Weibliche im Menschen das «Lilium».
Darum spricht auch Goethe in seinem Märchen von der «schönen
Lilie». Beatrice ist wirklich im Sinne der Danteschen Denkweise so
dargestellt, daß er in ihr das Gebäude der scholastischen Theologie
zum Ausdruck bringen kann." {{Lit|{{G|097|34f}}}}
</div>


[[Beatrice]] erscheint, zunächst noch verschleiert, auf einem ''Siegeswagen'' der von einem [[Greif]] gezogen wird. Sie trägt einen weißen Schleier und einen Kranz aus einem Olivenzweig und um das Kleid, das wie Feuer scheint, hat sie einen grünen Mantel umgeschlagen. Sie gibt sich als Beatrice zu erkennen und richtet mahnende Worte an Dante. Ehe er aus dem Fluss der [[Lethe]] trinken dürfe, müsse er noch vollkommene Reue zeigen:
Ein Fluid mit diesem Spannungstensor gehorcht den [[Euler-Gleichungen (Strömungsmechanik)|Euler-Gleichungen der Strömungsmechanik]]. Wenn hier die Dichte eine [[Bijektivität|eineindeutige Funktion]] des Drucks ist, dann ist das Fluid [[Cauchy-Elastizität#Elastische Fluide|Cauchy-elastisch]] und konservativ, Kompressionsarbeit in ihm jedenfalls reversibel.


{|align="center"
Neben diesen klassischen Materialmodellen betrachtet die Strömungsmechanik auch jedes andere fließende Material, unter anderem [[Plasma (Physik)|Plasma]], nicht-newtonsche Fluide oder [[Duktilität|duktile]] Materialien bei großen Verformungen, wo die [[Elastizität (Physik)|elastische]] Deformation gegenüber der [[Plastizitätstheorie|plastischen]] vernachlässigt werden kann.
|-
| <poem>{{Zeile|142}} Nicht wär’s, wie sich’s nach ew’gem Rath gebührt,
Wenn er durch Lethe ging’ und sie genösse,
Und nicht vorher, bußfertig und gerührt
{{Zeile|145}} In Reuezähren seine Schuld ergösse.“
                            (Purgatorio 30,142-145)</poem>
|}


Dann erst darf ihn [[Matelda]] mit den Wassern der Lethe tränken. Der [[Trunk des Vergessens]] aus den Fluten der [[Lethe]] befreit Dante von den leidvollen [[Erinnerung]]en an seine [[Sünde]]n im vorangegangenen Erdenleben (31. Gesang). Dann trinkt er aus der [[Eunoë]] (33. Gesang), die ihm das geistige Leben, das ihm im irdischen Dasein wie erstorben schien, neu belebt, wie es auch der dritte Teil des [[Rosenkreuzerspruch]]es andeutet: „Per spiritum sanctum reviviscimus“ (''Durch den [[Heiliger Geist|Heiligen Geist]] werden wir neu belebt'').
== Siehe auch ==
* {{WikipediaDE|Kategorie:Strömungsmechanik}}
* {{WikipediaDE|Strömungsmechanik}}


===Wasserprobe===
== Literatur ==
Durch diese Probe muss sich beweisen, ob man sich, wenn die Stütze der äußeren sinnlichen Welt weggefallen ist, frei und sicher in der geistigen Welt bewegen kann. Dazu gehört sichere eigenständige [[Urteilskraft]] im [[Denken]], Selbstbeherrschung im Empfinden und Initiativkraft im Wollen (man nimmt freiwillig ernste Verpflichtungen auf sich, zu denen es keinen äußeren Anstoß gibt). Nur so kann man von der Sinneswelt, die einen sicher trägt, zum bewussten Erleben der unaufhaltsam strömenden Ätherwelt übertreten. Man betritt dann wie Dante die ätherische Welt des "irdischen Paradieses" und man lernt wie er die beiden Ströme [[Lethe]] und [[Eunoë]] kennen. Man tritt in jenen paradiesischen Zustand über, in dem der Mensch war, ehe er sich in dichten stofflichen Leibern verkörperte – und in den er künftig in verwandelter Form wieder übertreten wird.
* {{Literatur
  |Hrsg=H. Oertel
  |Titel=Prandtl-Führer durch die Strömungslehre. Grundlagen und Phänomene
  |Auflage=13.
  |Verlag=Springer Vieweg
  |Datum=2012
  |ISBN=978-3-8348-1918-5}}
* {{Literatur
  |Autor=F. Durst
  |Titel=Grundlagen der Strömungsmechanik
  |Verlag=Springer
  |Datum=2006
  |ISBN=3-540-31323-0}}
* {{Literatur
  |Autor=G. Bollrich
  |Titel=Technische Hydromechanik 1. Grundlagen
  |Verlag=Verlag Bauwesen
  |Datum=2007
  |ISBN=3-345-00912-9}}
* {{Literatur
  |Autor=A. Dillmann, K. Wieghardt
  |Titel=Theoretische Strömungslehre
  |Verlag=Universitätsverlag Göttingen
  |Datum=2005
  |ISBN=3-938616-33-4}}
* {{Literatur
  |Autor=George Keith Batchelor
  |Titel=An Introduction to Fluid Dynamics
  |Verlag=Cambridge University Press
  |Datum=1967
  |ISBN=0-521-04118-X}}
* {{Literatur
  |Autor=P. K. Kundu
  |Titel=Fluid Mechanics
  |Verlag=Academic Press
  |Datum=2015
  |ISBN=978-0-12-405935-1}}
* {{Literatur
  |Autor=Wolfgang Schröder
  |Titel=Fluidmechanik
  |Verlag=Wissenschaftsverlag Mainz in Aachen
  |Ort=Aachen
  |Datum=2004
  |ISBN=3-86130-371-X}}
* {{Literatur
  |Autor=Jann Strybny
  |Titel=Ohne Panik Strömungsmechanik
  |Auflage=2.
  |Verlag=Vieweg
  |Datum=2005
  |ISBN=3-528-13194-2}}


===Luftprobe===
== Weblinks ==
Hier muss man nun absolute Geistesgegenwart entwickeln. Es darf kein Zögern und kein Zweifeln mehr geben. Man muss sich ganz sicher und fest auf sich selbst stützen. Man agiert nun ganz selbstständig aus seinem höheren Selbst. Man darf sich nicht verlieren. Das heißt aber auch, dass man seine geistigen Fähigkeiten jederzeit ganz präzise einschätzen muss. Man muss nicht im absoluten Sinne vollkommen sein, dazu bedarf es noch eines weiten Weges – aber man muss sich ganz schonungslos seines eigenen Wertes und auch seines Unwertes bewusst werden. Man muss – um bei Dantes Bild zu bleiben – die Strafpredigt [[Beatrice]]s über sich ergehen lassen.
{{Commonscat|Fluid mechanics|Strömungsmechanik}}
{{Wiktionary|Strömung}}
{{Wikibooks|Mechanik flüssiger und gasförmiger Körper}}


===[[Lethe#Der Trunk des Vergessens|Der Trunk des Vergessens]]===
== Einzelnachweise ==
[[Bild:Beatrice_Lethe.jpg|thumb|300px|[[Wikipedia:Sandro Botticelli|Sandro Botticelli]]: Beatrice am Lethefluss]]
<references />
[[File:Cristobal Rojas 25a.JPG|mini|300px|[[Wikipedia:Cristobal Rojas|Cristobal Rojas]]: Dante und Beatrice am Lethe-Fluss (1889)]]
Hat man diese Proben bestanden, darf man in den Strom der [[Lethe]] tauchen und aus ihren Fluten trinken. Die [[Erinnerung]] an alte Schuld, die hier nur mehr hemmend wäre, wird ausgelöscht. Überhaupt wird das ganze herkömmliche [[Gedächtnis]] beiseite gestellt – es darf sich keine Erinnerung, nichts im Leben Erfahrenes oder Erlerntes, störend in die geistige Erkenntnis einmischen, die nur mehr aus der unmittelbaren Geistesgegenwart schöpfen darf.
 
===Der Gedächtnistrank===
Noch ein zweiter «Trank» wird dem [[Eingeweihter|Eingeweihten]] gereicht – der [[Gedächtnistrank]]. Durch ihn sind ihm die höheren Geheimnisse und vor allem auch das genaue Bewusstsein für das Maß der eigenen Kräfte ständig lebendig gegenwärtig. Dazu würde das gewöhnliche Gedächtnis nicht ausreichen. Man ist jetzt unmittelbar mit den geistigen Welten verbunden und handelt aus ihrem lebendigen Anschauen. Man muss darüber nicht mehr nachdenken, das Handeln aus dem Geistigen heraus ist einem zur zweiten Natur geworden.
 
=== Der Leib der Toten ===
Je weiter Dante den Läuterungsberg hinansteigt, desto mehr wird ihm zur Frage, wieso die Toten überhaupt als geschlossene Gestalt erscheinen können. Angesichts derer, die für ihre Gier hier zur Buße magern müssen fragt er:


<center>
{{Normdaten|TYP=s|GND=4077970-1}}
{| valign="top"
|-
|
<poem>{{Zeile|20}} &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;... Wie wird man hier so mager,
Hier, wo kein Leib ist, welchen Speis erhält?
                                      (Purgatorio 25,20-21)</poem>
|}
</center>
Von Statius ([[Wikipedia:Publius Papinius Statius|Publius Papinius Statius]], ca. 45 - 96 n. Chr.), dem römischen Dichter, wird er nun über das Verhältnis von Seele und Leib und über die Bildung der menschlichen Gestalt belehrt:
 
{{Spalten|<poem>{{Zeile|37}} Das reinste Blut, das von den Adern nie<ref>37 ff. Die Zeugungs''kraft'' wird, nach der Theorie des Dichters, im Herzen dem reinsten vollkommensten Blute mitgetheilt, dessen der Körper nicht, wie des andern Bluts, zu seiner eigenen Erhaltung bedarf, das vielmehr unvermischt mit dem andern, durch den weitern Kreislauf noch mehr verkocht (<tt>digesto</tt>), durch die Adern den dazu bestimmten Behältern, welche die Scham zu nennen verbietet, zugeführt wird.</ref>
Getrunken wird, vergleichbar einer Speise,
Die über den Bedarf Natur verlieh,
{{Zeile|40}} Empfängt im Herzen wunderbarer Weise
Die Bildungskraft für menschliche Gestalt,
Geht dann mit dieser durch der Adern Kreise,
{{Zeile|43}} Noch mehr verkocht, zu einem Aufenthalt,
Den man nicht nennt, von wo’s zu ander’m Blute<ref>[44. „Zum andern Blute.“ Auch das weibliche Ei ist ein Extract aus dem Blut.]</ref>
{{Zeile|46}} Daß beides zum Gebild zusammenfluthe,<ref>46. Thätig wird das männliche Blut durch die im ''Herzen'' empfangene Bildungskraft.</ref>
Ist leidend ''dies'', und thätig ''das'', vom Ort,
In dem die hohe Bildungskraft beruhte.
{{Zeile|49}} Drin angelangt, beginnt’s sein Wirken dort;
Geronnen erst, erzeugt es junges Leben
Und schreitet in des Stoffs Verdichtung fort.
{{Zeile|52}} ''Es wird die Seel’'' aus thät’ger Kräfte Streben,<ref>[52 ff. Die ''Grundtendenz'' der Dante’schen Darlegung ist: eine Zersplitterung der Seele in eine bloße Mehrheit von Kräften – („die dreifache Seele“ Fegf. 4. 1 ff.) abzuweisen und der Seele ihre ''Einheit'', ihre ''stufenweise'', einheitliche Voll-Entwicklung mit ihrem ''göttlichen Ursprung'' und ewigen substanziellen ''Geistesgehalt'' zu retten. Dies geschieht durch eine Verschmelzung des ''Traduzianismus'' und ''Creatinismus''. –: Der Mensch hat allerdings zuerst ein rein ''vegetatives'' Leben, V. 53. Aber während die Pflanze dabei stehen bleibt, so entfaltet sich das Leben des Ungeborenen jetzt erst recht weiter zur Bewegung und Empfindung, V. 54 ff. (''sensitive'' oder Thierseele, V. 61). Der Uebergang von Einem zum Anderen geschieht durch den Zustand des Pflanzenthiers als Mittelglied V. 56 (Meerschwamm). Endlich, nach erfolger Entwickelung der menschlichen ''Gestalt'' (V. 58 ff.), vereint sich, durch einen unmittelbaren Schöpferact Gottes, der Geist von oben, wie die Sonne sich dem Rebensaft vermählt, mit dem Gegebenen zur vollkommenen (nach Parad. 32, 64 jedesmal individuell bestimmten) Menschenseele – rationelle oder ''intellective'' Seele – deren Hauptfunction das Kreisen in sich selber, das persönliche Selbstbewußtsein, ist, V. 61, 72–78. – Bis auf das Letzte, was der Philosophie, beziehungsweise dem Glauben angehört, finden wir also den Dichter, mit der Scholastik, schon ganz in Uebereinstimmung mit der neueren Physiologie.]</ref>
Wie die der Pflanze, die nur still’ schon steht,
Wenn jene kaum beginnt, sich zu erheben.
{{Zeile|55}} ''Bewegung'' zeigt sich dann, Gefühl entsteht,
Wie in dem Schwamm des Meers, und zu entfalten
Beginnt die thät’ge Kraft, was sie gesä’t.
{{Zeile|58}} Wie nun des Herzens Zeugungskräfte walten,
Wird ausgedehnt die Frucht, geschwellt, entwirrt,
So, daß ''die Glieder'' sämmtlich sich gestalten.
{{Zeile|61}} Doch, Sohn, wie nun das Thier zum Menschen wird,
Noch siehst du’s nicht, und dies ist eine Lehre,
Worin ein Weiserer als du, geirrt.<ref>[63. Polemik gegen ''Averrhoës'', den großen, arabischen Erklärer des Aristoteles, der aus des Letzteren Schriften eine, der Auffassung Dante’s entgegenstehende Ansicht entwickelt hatte, welche schon merkwürdige Aehnlichkeit mit gewissen, modernen Anschauungen hat. Nemlich die, daß dem Menschen Vernunft und Geist (<tt>„intellectus possibilis“ „il possibile intelletto“</tt>) nur dadurch werde, daß ein „universeller Intellect“ auf Lebensdauer mit dem Kind eine, an kein besonderes Organ gebundene und daher mit dem Tod erlöschende, Verbindung eingehe. Es gebe also keine persönliche Unsterblichkeit. – An dieser Polemik schließt sich dann eben die weitere Entwicklung Dante’s in Betreff ''des Todes'' und des ''Zustandes nach dem Tod'' in V. 79 –108 wie folgt:]</ref>
{{Zeile|64}} Er war der Meinung, von der Seele wäre
Gesondert die Vernunft, weil kein Organ
Die Aeußerung der letztern uns erkläre.
{{Zeile|67}} Jetzt sei dein Herz der Wahrheit aufgethan,
Damit dein Geist, was folgen wird, bemerke!
Wenn Bildung das Gehirn der Frucht empfahn,
{{Zeile|70}} Kehrt, froh ob der Natur kunstvollem Werke,
Zu ihr ''der Schöpfer'' sich, und ''haucht den Geist'',
''Den neuen Geist ihr ein, von solcher Stärke'',
{{Zeile|73}} Daß er, was thätig dort ist, an sich reißt,
''Und mit ihm sich vereint zu Einer Seele'',
Die lebt und fühlt und in sich selber kreist.
{{Zeile|76}} Und daß dir’s nicht an hellerm Lichte fehle,
So denke nur, wie sich zum edlen Wein
Die Sonnenglut dem Rebensaft vermähle.
{{Zeile|79}} Gebricht es dann der Lachesis an Lein,<ref>[79–108. Nicht eine Auflösung ins Nichts ist der Tod, wenn die Parze „des Leins entbehrt“ d. h. den Lebensfaden abschneidet. Sondern die (solchergestalt entstandene) Seele löst sich nun vom Fleisch, „den Verein von Göttlichem und Menschlichem ''im Keime'' mit sich nehmend,“ V. 79–81. Indem nemlich jetzt die niederen Kräfte („die Accidenzien des Körpers“) ohne das Organ des Leibes verstummt und latent in ihr sind, treten die ihr eigenen Accidenzien, nemlich ''Intellect, Wille'' und ''Gedächtniß'', um so schärfer hervor, da diese ohne ein fleischliches Medium viel besser wirken können V. 82–84 (cfr. Paulus, 1 Cor. 13, 12 „erkennen, wie ich erkannt bin“) Nachdem nun die Seele, gemäß Gottes Richterspruch V. 31, an einem der beiden Ufer des Acheron oder des Tiber niedergesunken und von dort wieder an dem {{Seite|340}} ihr beschiedenen Orte der Hölle oder des Fegefeuers angekommen ist, so erfaßt sie, die ihr eigene Bildungskraft ausstrahlend, die ''umgebende Luft'', um derselben, wie einst den irdischen Stoffen des Erdenleibs, ihr Bildniß einzuprägen, V. 85–96. Dies ist der ''Schattenleib'', welcher also die bewegliche Form des geschiedenen Geistes und das Organ der, in ihm nun aufs Neue hervortretenden, niederen und höheren Accidenzien ist. Daher ihm jeder Sinn, sogar Sehen und Gesehenwerden, und Begehren, Wollen, Erinnern, Lust und Schmerz zu äußern gegeben ist, nach Maßgabe der in ihm waltenden Seelenkraft V. 97–108. Mit diesem Satze ist Dante an dem in V. 20 ff. postulirten Ende seiner Darlegung. Im Uebrigen weiß der Leser aus früheren Stellen, daß der Schattenleib nur ein intermistischer ist und am jüngsten Gericht alle Seelen ihren Erdenleib in verklärter oder ewig finsterer Gestalt wieder anziehen werden.]</ref>
Dann trägt ''im Keim'' sie aus des Leibes Hülle
Des Menschlichen und Göttlichen Verein;
{{Zeile|82}} Und wenn die andern Kräfte stumm und stille,
''Bleibt'', schärfer als vorher, in Macht und That
''Erinnerung'' jetzt, ''Verstandeskraft'' und ''Wille''.
{{Zeile|85}} Und ohne Säumen fällt sie am Gestad’,
''Dem oder jenem'', wunderbarlich nieder,
Und hier erkennt sie erst den weitern Pfad.
{{Zeile|88}} Ist sie nun am bestimmten Orte wieder,
So strahlt die Bildungskraft rings um sie her,
Und wirkt, wie einst, durch die lebend’gen Glieder.
{{Zeile|91}} Und wie die Luft, vom Regen feucht und schwer,
Sich glänzend schmückt mit buntem Farbenbogen
Im Wiederglanz vom Sonnen-Feuermeer;
{{Zeile|94}} So jetzt die Lüfte, so die Seel’ umwogen,
Worein die Bildungskraft ein Bildniß prägt,
Sobald die Seel’ an jenen Strand gezogen.
{{Zeile|97}} ''Und gleich der Flamme, die sich nachbewegt'',
''Wo irgend hin des Feuers Pfade gehen'',
''So folgt die Form, wohin der Geist sie trägt''.
{{Zeile|100}} Sieh daher die Erscheinung dann entstehen,
Die Schatten heißt; so bildet sich in ihr
Auch ''jeder Sinn'' mit Inbegriff vom Sehen.
{{Zeile|103}} Und daher sprechen, daher lachen wir,
Und daher weinen wir die bittern Zähren
Und seufzen laut auf unserm Berge hier.
{{Zeile|106}} Der Schatten drückt sich’s aus, je wie Begehren
Und Leidenschaft uns reizt und Lust und Gram;
Dies mag dir, was du angestaunt, erklären.“
                                  (Purgatorium 25,37-108)</poem>|70%}}
 
In der Blutswärme lebt die Willenskraft des Ich. Mit dem Blut strömen die Bildekräfte, die die menschliche Gestalt formen. Das geistige Feuer, die innige Seelenwärme, die strömende ätherische Wärme und die äußere Wärme durchdringen sich so sehr, dass Leib, Seele und Geist nahezu untrennbar ineinander verschlungen werden. Wären die Hüllenglieder des Menschen nicht durch den Sündenfall und seine Folgen korrumpiert, würden wir die Formkräfte, die die menschliche Gestalt bilden, unmittelbar in das geistige Dasein mitnehmen. Durch den Einfluss der luziferischen und ahrimanischen Widersacher haben sich aber immer mehr Kräfte der Finsternis und Kälte unseren Wesensglieder einverwoben. Sie können nicht in das höhere geistige Dasein mitgehen und müssen ausgeschieden werden.
 
Noch feiner gesponnen sind die Leiber der Seligen im [[Paradiso]]. In der [[Mondsphäre]] sieht Dante verwundert die Seelen wie bloße Spiegelbilder, wie Gesichter, die sich im Wasser spiegeln, was Dante mit der Täuschung des Narziss vergleicht, der sich in sein eigenes Spiegelbild verliebte. Die Leiber sind hier aus Licht gewoben und werden aufsteigend von [[Planetensphäre]] zu Planetensphäre immer feiner und strahlender. Sie erscheinen nicht mehr so dicht wie die Luftleiber der Büßer im Purgatorio oder gar wie die noch gröberen Leiber im [[Inferno]].
 
==Literatur==
 
* [[Giovanni Boccaccio]], Otto von Taube (Übers.): ''Das Leben Dantes'', Insel Verlag, Leipzig 1909 [http://www.odysseetheater.org/jump.php?url=http://www.odysseetheater.org/ftp/bibliothek/Philosophie/Dante/Giovanni_Boccaccio_Das_Leben_Dantes.pdf#page=60&view=Fit]
* [[Giovanni Boccaccio]]: ''Das Leben Dantes'', Übertragen von Edmund Theodor Kauer, Deutsche Buchgemeinschaft, Berlin
* [[w:Karl Vossler|Karl Vossler]]: ''Die göttliche Komödie. Entwicklungsgeschichte und Erklärung.'' Carl Winter, Heidelberg 1907/1910. [https://archive.org/details/p1diegttlichekom01vossuoft/page/n4/mode/2up I. Band I. Teil] [https://archive.org/details/p2diegttlichekom01vossuoft/page/n4/mode/2up I. Band II. Teil] [https://archive.org/details/p1diegttlichekom02vossuoft/page/n4/mode/2up II. Band I. Teil] [https://archive.org/details/p2diegttlichekom02vossuoft/page/1/mode/2up II. Band II. Teil]
* Robert L. John: ''Dante'', Springer-Verlag, Wien 1946, ISBN 978-3-211-80023-2
* [[Arthur Schult]]: ''Dantes Divina Commedia als Zeugnis der Tempelritter-Esoterik'', Turm-Verlag, Bietigheim 1979, ISBN 978-3799901840
* [[Joseph P. Strelka]]: ''Dante und die Templergnosis'', A. Francke Verlag, Tübingen 2012, ISBN 978-3772084430
* [[Wikipedia:Abū l-ʿAlāʾ al-Maʿarrī|Al-Ma'arri]], Gregor Schoeler (Übers.): ''Paradies und Hölle. Die Jenseitsreise aus dem „Sendschreiben über die Vergebung“'', Verlag C.H. Beck 2002, ISBN 978-3406484469
* [[Muhyiddin Ibn Arabi]], Franz Langmayr (Übers.), Wolfgang Herrmann (Übers.): ''Reise zum Herrn der Macht: Meine Reise verlief nur in mir selbst'', Chalice Verlag 2008, ISBN 978-3905272734 
* Milena Rampoldi: ''Vergleich zwischen der Anschauung des Paradieses in Abu l-'Ala al-Ma'arri und Dante Alighieri'', epubli GmbH 2014, ISBN 978-3844281422
* [[Dante Alighieri]]: ''Die Göttliche Komödie, Übersetzung von Hans Werner Sokop in Original-Terzinen mit Erläuterungen. 100 Bilder von Fritz Karl Wachtmann.'', Akad. Druck- und Verlagsanstalt, Graz 2014, ISBN 978-3-201-01994-1
* [[Wikipedia:Leonardo Olschki|Leonardo Olschki]], Bernd Payer (Übers.): ''Der Mythos vom Filz'', University of California, Berkeley und Los Angeles 1949
* [[Willem Frederik Veltman]]: ''Dantes Weltmission'', J. Ch. Mellinger Verlag, Stuttgart 1979, ISBN 9783880690066
* Richard Lansing (Hrsg.): ''The Dante Encyclopedia'', Taylor & Francis e-Library, 2010, ISBN 0-203-83447-X Master e-book ISBN
* [[Wikipedia:Theophil Spoerri|Theophil Spoerri]]: ''[https://www.amazon.de/Einf%C3%BChrung-G%C3%B6ttliche-Kom%C3%B6die-Theophil-Spoerri/dp/3859160125/ref=sr_1_1?__mk_de_DE=%C3%85M%C3%85%C5%BD%C3%95%C3%91&keywords=spoerri+g%C3%B6ttliche+kom%C3%B6die&qid=1582735664&sr=8-1 Einführung in die Göttliche Kommödie]'', Speer-Verlag Zürich, 1946
* [[Rudolf Steiner]]: ''Metamorphosen des Seelenlebens - Pfade der Seelenerlebnisse'', Zweiter Teil, [[GA 59]] (1984), Berlin, 12. Mai 1910, Die Mission der Kunst, siehe auch TB 603 (1983), S 175 ff.
* [[Rudolf Steiner]]: ''Ursprungsimpulse der Geisteswissenschaft'', [[GA 96]] (1989), Berlin, Ostermontag, 16. April 1906
* [[Rudolf Steiner]]: ''Das christliche Mysterium'', [[GA 97]] (1998), ISBN 3-7274-0970-3 {{Vorträge|097}}
* [[Rudolf Steiner]]: ''Mitteleuropa zwischen Ost und West'', [[GA 174a]] (1982), ISBN 3-7274-1741-2 {{Vorträge|174a}}
* [[Rudolf Steiner]]: ''Esoterische Betrachtungen karmischer Zusammenhänge'', Sechster Band, [[GA 240]] (1986), Arnheim, 18. Juli 1924
* [[Rudolf Steiner]]: ''Vom Leben des Menschen und der Erde. Über das Wesen des Christentums'', [[GA 349]] (1980), ISBN 3-7274-3490-2 {{Vorträge|349}}
 
{{GA}}
 
==Weblinks==
 
{{Commonscat|The Divine Comedy|Göttliche Komödie}}
{{Wikisource|Göttliche Komödie (Streckfuß 1876)|Göttliche Komödie (deutsche Übersetzung von Carl Streckfuß)}}
{{Wikisource|it:Divina Commedia|Divina Commedia (italienischer Originaltext)}}
{{Wikisource|Dantes Werke|Dantes Werke (Hrsg. Albert Ritter)}}
* {{PGIW|8085}}
*[http://www.bautz.de/bbkl/d/dante_alighieri.shtml Dante Alighieri] - Kurzbiografie
*[http://gutenberg.spiegel.de/dante/komoedie/komoedie.htm Die Göttliche Komödie] - Der gesamte Text in deutscher Übertragung.
*[http://ftp.rudolf-steiner.org/ftp/index.php?dirname=F:/www/ftp/bibliothek/Philosophie/Dante Die Göttliche Komödie] - Download des gesamten Textes in deutscher Übertragung als WORD- und PDF-Datei, dazu eine Inhaltsübersicht und ein schematischer Überblick.
* [http://www.dantealighieri.dk/ Übersetzungen von Bachenschwanz, Graul, Meinhard, Jagemann, Hasenclever]
* {{Zeno-Werk|Literatur/M/Dante+Alighieri/Epos/Die+Göttliche+Komödie|Die Göttliche Komödie übersetzt von Karl Witte}}
* [http://www.divinecomedy.org/divine_comedy.html ELF-Projekt, Italienischer Originaltext und zwei englische Übersetzungen (von Henry Wadsworth Longfellow und Henry Francis Cary)]
* [http://librivox.org/die-gottliche-komodie-die-holle-by-dante-alighieri/ Die göttliche Komödie – Die Hölle] [http://librivox.org/die-gottliche-komodie-das-fegefeuer-by-dante-alighieri/ Das Fegefeuer] [http://librivox.org/die-gottliche-komodie-das-paradies-by-dante-alighieri/ Das Paradies] als Hörbuch bei [[Wikipedia:LibriVox|LibriVox]]
* [http://www.klassiker-der-weltliteratur.de/goettliche_komoedie.htm Zusammenfassung des Inhalts]
* [http://www.kuenstlerleben-in-rom.de/html/dante_und_koch.html Illustrationen Dantes Göttlicher Komödie von Joseph Anton Koch]
* [http://www.goethezeitportal.de/index.php?id=4384 Carl Vogel von Vogelstein: Die Hauptmomente aus Goethe's ''Faust'', Dante's ''Divina Commedia'' und Virgil's ''Aeneis'', 1861]
* [http://www.minix.ch/filz/docs/Der_Mythos_vom_Filz.pdf Leonardo Olschki: ''Der Mythos vom Filz''] - zu den Begriffen «Veltro» und «Feltro»
* [http://danteworlds.laits.utexas.edu Danteworlds] - an integrated multimedia journey combining artistic images, textual commentary, and audio recordings through the three realms of the afterlife (Inferno, Purgatory, Paradise) presented in Dante's Divine Comedy (englisch).
 
== Einzelnachweise ==
<references/>
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<references group="WS" />
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[[Kategorie:Strömungsmechanik|!]]

Version vom 11. Juli 2020, 00:40 Uhr

Die Strömungsmechanik, Fluidmechanik oder Strömungslehre ist die Wissenschaft vom physikalischen Verhalten von Fluiden. Die in der Strömungsmechanik gewonnenen Kenntnisse sind Gesetzmäßigkeiten in Strömungsvorgängen und dienen der Lösung von Strömungsproblemen in der Auslegung von durch- bzw. umströmten Bauteilen sowie der Überwachung von Strömungen. Angewendet wird sie unter anderem im Maschinenbau, Chemieingenieurwesen, der Wasser- und Energiewirtschaft, Meteorologie, Astrophysik und der Medizin. Ihre Grundlagen findet sie in der Kontinuumsmechanik und Thermodynamik, also der klassischen Physik.

Historische Entwicklung

Die Strömungsmechanik beruht auf der Kontinuumsmechanik, Physik und Differentialrechnung, deren jeweiliger historischer Werdegang dort nachgeschlagen werden kann. An dieser Stelle soll die spezifisch strömungsmechanische Entwicklung skizziert werden.

Archimedes (287–212 v. Chr.) befasste sich mit strömungsmechanischen Fragestellungen (Archimedisches Prinzip, Archimedische Schraube). Sextus Iulius Frontinus (ca. 35–103 n. Chr.) dokumentierte seine Kenntnisse über die Wasserversorgung in der Antike, über tausend Jahre bevor sich Leonardo da Vinci (1452–1519) mit Strömungsvorgängen auseinandersetzte.

Galileo Galilei (1564–1642) gab Impulse in der experimentellen Hydrodynamik und überarbeitete das von Aristoteles eingeführte Konzept des Vakuums. Evangelista Torricelli (1608–1647) erkannte im Gewicht der Erdatmosphäre die Ursache des Luftdrucks und verband den horizontal ausgestoßenen Flüssigkeitsstrahl mit den Gesetzen des freien Falls (Torricelli’sches Ausflussgesetz). Blaise Pascal (1623–1662) beschäftigte sich unter anderem mit der Hydrostatik und formulierte den Satz von der allseitigen Druckfortpflanzung. Edme Mariotte (1620–1684) lieferte Beiträge zu Problemen der Flüssigkeiten und Gase und stellte dabei erste Konstitutivgesetze auf. Henri de Pitot (1695–1771) untersuchte den Staudruck in Strömungen.

Isaac Newton veröffentlichte 1686 seine dreibändige Principia mit den Bewegungsgesetzen und definierte zudem im zweiten Buch die Viskosität einer idealen (newtonschen) Flüssigkeit. Daniel Bernoulli (1700–1782) begründete die Hydromechanik, indem er Druck und Geschwindigkeit in der nach ihm benannten Energiegleichung verband und Leonhard Euler (1707–1783) formulierte die Bewegungsgleichungen für ideale Flüssigkeiten. Von nun an konnten Erkenntnisse auch durch Untersuchungen der mathematischen Gleichungen gewonnen werden. Jean-Baptiste le Rond d’Alembert (1717–1783) führte die eulersche Betrachtungsweise und komplexe Zahlen in der Potentialtheorie ein, leitete die lokale Massenbilanz her und formulierte das d’Alembert’sche Paradoxon, demgemäß von der Strömung idealer Flüssigkeiten auf einen Körper keine Kraft in Richtung der Strömung ausgeübt wird (was Euler schon vorher bewies). Wegen dieser und anderer Paradoxien reibungsfreier Strömungen war klar, dass die Euler’schen Bewegungsgleichungen zu ergänzen sind.

Claude Louis Marie Henri Navier (1785–1836) und George Gabriel Stokes (1819–1903) erweiterten die Euler’schen Bewegungsgleichungen um viskose Terme zu den Navier-Stokes-Gleichungen, die Strömungen realitätsnah modellieren. Giovanni Battista Venturi (1746–1822), Gotthilf Heinrich Ludwig Hagen (1797–1884) und Jean Léonard Marie Poiseuille (1799–1869) führten experimentelle Untersuchungen in Strömungen durch. William Froude (1810–1879) ermittelte den Schwimmwiderstand von Schiffen, Ernst Mach (1838–1916) leistete Pionierarbeit in der Überschallaerodynamik, Lord Rayleigh (1842–1919) untersuchte hydrodynamische Instabilitäten und Vincent Strouhal (1850–1922) erforschte die Schwingungsanregungen durch ablösende Wirbel. Hermann von Helmholtz (1821–1894) formulierte die nach ihm benannten Wirbelsätze und begründete durch mathematisch ausgearbeitete Untersuchungen über Wirbelstürme und Gewitter die wissenschaftliche Meteorologie. Weitere bahnbrechende Arbeiten wurden von Osborne Reynolds (1832–1912, Reynolds-Gleichungen, Reynoldszahl) und Ludwig Prandtl (1875–1953, unter anderem zur hydrodynamischen Grenzschicht) vorgelegt.

Andrei Nikolajewitsch Kolmogorow (1903–1987) erweiterte die Theorie der turbulenten Strömung. Ab Mitte des 20. Jahrhunderts entwickelten sich die Strömungsmesstechnik und numerische Strömungsmechanik so weit, dass mit ihrer Hilfe Lösungen für praktische Probleme gefunden werden können.[1]

Methodik

Gegenstand der Strömungsmechanik sind die Bewegungen von Fluiden, ruhenden, fließenden oder strömenden Medien. Die Suche nach Gesetzmäßigkeiten von Bewegungen und Lösungen für Strömungsprobleme bedient sich dreierlei Methoden:

Analytische Methoden
Gesetzmäßigkeiten werden in Form von Gleichungen formuliert, die mit Hilfe der angewandten Mathematik behandelt werden können.
Experimentelle Methoden
Die Phänomenologie der Strömungsvorgänge wird erkundet mit dem Ziel Gesetzmäßigkeiten herauszufinden.
Numerische Methoden
Durch einen detaillierten Einblick auch in komplizierte und kurzzeitige Strömungsvorgänge unterstützen und ergänzen die Berechnungen die analytischen und experimentellen Methoden.

Die Komplexität des Gegenstandes macht die kombinierte Nutzung aller drei Methoden für die Lösung praktischer Strömungsprobleme notwendig.

Teilgebiete

Fluidstatik

Hydrostatisches Paradoxon: Der Flüssigkeitsdruck am Boden (rot) ist in allen drei Gefäßen identisch.

Die Fluidstatik betrachtet ruhende Fluide, wobei die Hydrostatik Inkompressibilität voraussetzt, die Wasser in guter Näherung aufweist. Hier interessiert die Druckverteilung in ruhenden Flüssigkeiten und die daraus resultierenden Kräfte auf Behälterwände, siehe Bild. Schwimmende Körper erfahren einen statischen Auftrieb und es interessiert die Frage, unter welchen Voraussetzungen die Schwimmstabilität des Körpers gegeben ist. Thermische Effekte sind hier von untergeordneter Bedeutung.

Die Aerostatik betrachtet die Gesetzmäßigkeiten in ruhender Atmosphäre oder Erdatmosphäre und hier sind Dichteänderungen und thermische Effekte ausschlaggebend. Betrachtet wird beispielsweise die Atmosphärenschichtung und die Druck- und Temperaturverteilung über die Höhe in der Erdatmosphäre.

Ähnlichkeitstheorie

Windkanal der NASA mit dem Modell einer MD-11

Die Ähnlichkeitstheorie beschäftigt sich damit, aus einem bekannten und zugänglichen (Modell)-System Rückschlüsse auf ein interessierendes aber experimentell unzugängliches (Real)-System zu bilden, das z. B. größer oder kleiner, schneller oder langsamer oder sich in anderen Dimensionen nur quantitativ vom Modellsystem unterscheidet, siehe Bild. Kinematisch ähnlich sind zwei Strömungen, wenn sie ähnliche räumliche Bewegungen ausführen. Voraussetzung hierfür ist, dass ähnliche Randbedingungen vorliegen (geometrische Ähnlichkeit) und auf die Fluidelemente ähnliche Kräfte wirken, was dynamische Ähnlichkeit bedeutet. Die Ähnlichkeitsbetrachtungen werden auch auf Wärmetransportprobleme bei thermischer Ähnlichkeit angewendet. Begründet wurde die Ähnlichkeitstheorie 1883 von Osborne Reynolds in Form des Reynolds’schen Ähnlichkeitsgesetzes, das besagt, dass die Strömungen am Original und am Modell mechanisch ähnlich verlaufen, wenn die Reynolds-Zahlen übereinstimmen.

Stromfadentheorie

Die Stromfadentheorie betrachtet Strömungen entlang einer von Stromlinien gebildeten, (infinitesimal) dünnen Stromröhre, in der die Zustandsgrößen Geschwindigkeit, Druck, Dichte und Temperatur als über den Querschnitt des Stromfadens konstant angenommen werden können. Auf diese Volumina können die Integralformen der Grundgleichungen angewendet werden, um so weitere Lösungen von Strömungsproblemen zu erarbeiten. Ein stationäres Strömungsgebiet besteht aus Stromfäden, so dass es gelingt die globalen Eigenschaften der Strömung mit den Eigenschaften der Stromfäden zu beschreiben. Prominenter Anwendungsfall ist die Strömung durch Röhren und Düsen. Die Gesamtheit der eindimensionalen Strömungen von Wasser werden unter dem Sammelnamen Hydraulik zusammengefasst.[2] Die Fluidtechnik und Fluidik wenden die Hydraulik und Pneumatik an, um Energie zu übertragen oder Signale zu verarbeiten.

Potentialströmungen

Stromlinien um ein Flügelprofil

In Potentialströmungen ergibt sich das Geschwindigkeitsfeld aus der Ableitung eines Geschwindigkeitspotentials, weshalb solche Strömungen grundsätzlich reibungs- und rotationsfrei sind. Eine laminare Strömung bei niedrigen Reynolds-Zahlen folgt in guter Näherung einer Potentialströmung, wenn die fluiddynamische Grenzschicht an den Rändern der Strömung keine wesentliche Rolle spielt. Die Potentialtheorie findet Anwendung in der Auslegung und im Design von Flugzeugen. Potentialströmungen sind relativ einfach zu berechnen und erlauben analytische Lösungen für viele Strömungsprobleme.

Eine andere Idealisierung, die Rotation erlaubt, aber nur inkompressible Medien betrachtet, gestattet die Einführung einer Stromfunktion. Diese ist allerdings nur in ebenen oder als Stokessche Stromfunktion in drei dimensionalen, axialsymmetrischen Fällen anwendbar. Die Höhenlinien der Stromfunktionen sind Stromlinien.

In ebenen, dichtebeständigen und rotationsfreien Strömungen kann das Geschwindigkeitsfeld mit komplexen Funktionen ausgedrückt und somit deren weitreichenden Eigenschaften ausgenutzt werden. Mit Hilfe dieser Theorie konnten Anfang des 20. Jahrhunderts erste auftriebserzeugende Flügelprofile entwickelt werden, siehe Bild.

Gasdynamik

Der Gegenstand der Gasdynamik sind schnelle Strömungen dichteveränderlicher Fluide, die bei Flugzeugen und in Düsen vorkommen. Diese Strömungen werden durch die Mach-Zahl M charakterisiert. Kompressibilität wird erst ab Machzahlen größer 0,2 bedeutsam, so dass dann hohe Reynolds-Zahlen vorliegen und Viskositätsterme und Gravitionskräfte vernachlässigbar sind. Die Strömungen sind auch schneller als der Wärmetransport, weswegen adiabatische Zustandsänderungen angenommen werden können. Die Gesetzmäßigkeiten werden mit der Stromfaden- und Ähnlichkeitstheorie abgeleitet. Ein besonderes Phänomen, das hier auftreten kann, ist die Stoßwelle und der Verdichtungsstoß, dessen bekanntester Vertreter die Schallmauer ist.

Fluiddynamik

Stokes’sche Welle mit Bahnlinien (türkis) einiger Wasserteilchen

Die Fluiddynamik ist das Teilgebiet, das sich mit bewegten Fluiden beschäftigt. Analytische Lösungen können hier nur durch Beschränkung auf eine oder zwei Dimensionen, auf Inkompressibilität, einfache Randbedingungen und auf kleine Reynolds-Zahlen erreicht werden, wo die Beschleunigungsterme gegenüber den Viskositätstermen vernachlässigt werden können. Zwar sind solche Lösungen praktisch wenig relevant, vertiefen jedoch trotzdem das Verständnis von Strömungsvorgängen.

Bei kleinen Reynoldszahlen vermag die Viskosität des Fluids kleine Fluktuationen der Strömungsvariablen zu dämpfen, so dass eine eventuell auch zeitabhängige, laminare Strömung dann stabil gegenüber kleinen Störungen ist. Mit zunehmender Reynolds-Zahl wird dieser Dämpfungsmechanismus überfordert und die laminare Strömung geht in eine irreguläre turbulente Strömung über. Die Turbulenzforschung erreicht Einsichten über solche Strömungen durch statistische Betrachtungen.

Bei großen Reynoldszahlen sind umgekehrt die Viskositätsterme gegenüber den Beschleunigungstermen klein und der Einfluss der Randbedingungen auf die Strömung ist auf wandnahe Bereiche beschränkt. Mit diesen beschäftigt sich die von Ludwig Prandtl begründete Grenzschichttheorie.

Die Aerodynamik untersucht das Verhalten von Körpern in kompressiblen Fluiden (zum Beispiel Luft) und ermittelt Kräfte und Momente, die auf umströmte Körper wirken. Zur Aerodynamik gehört die Vorhersage der Windkräfte auf Gebäude, Kraftfahrzeuge und Schiffe.

Das Wissensgebiet um die Wellenbewegungen in Fluiden befasst sich mit zeitlichen und räumlichen Bewegungen eines Fluids um eine mittlere Ruhelage. Die Aeroakustik beschäftigt sich mit den Gesetzmäßigkeiten solcher Wellen – Schallwellen – in der Luft. Die Hydromechanik unterscheidet u. a. die Schwerewellen, die höheren Stokes-Wellen, siehe Bild, die kleinen Kapillarwellen und die aperiodischen Solitonen. In der Fluiddynamik werden die Ursachen, Eigenschaften und die Grundgleichungen dieser Wellenbewegungen untersucht.

Mehrphasenströmungen mit festen, flüssigen und/oder gasförmigen Anteilen sind die in der Natur und Technik am häufigsten auftretenden Strömungsformen und bekommen dadurch eine besondere Relevanz. Die Mischung kann einerseits bereits im Kontinuumsmodell dargestellt werden, so dass die Mischung in jedem Fluidelement vorliegt, was Vorteile bei der Betrachtung großskaliger Bewegungen hat. Andererseits kann die Strömung jeder Phase getrennt beschrieben werden und die Gesamtströmung ergibt sich dann aus der Interaktion der Phasen an ihren Grenzflächen. Hier stehen kleinskalige Effekte im Vordergrund.

Sickerströmungen durch poröse Medien sind in der Hydrogeologie und der Filtertechnik von Interesse. Die Oberflächenspannung, die sonst bei Strömungen von untergeordneter Bedeutung ist, ist hier für die Bewegung bestimmend. Weil der Porenverlauf der festen Phase unbekannt ist, kommen Modelle zum Einsatz, die in die Richards-Gleichung münden.

Lineare Stabilitätstheorie

Kelvin-Helmholtz-Wirbel in der Atmosphäre hinter dem Monte Duval, Australien

Dieses Fachgebiet untersucht, inwieweit der Bewegungszustand einer Flüssigkeit stabil ist gegenüber kleinen Störungen. Betrachtet wird die Strömung an einer Grenzschicht, die zu einer Wand (Hydrodynamische Grenzschicht) oder zu einer Flüssigkeit mit anderen Eigenschaften liegen kann. Fluktuationen in dieser Grenzschicht können bei Instabilitäten zu qualitativ anderen Zuständen führen, die oftmals deutliche Strukturen aufweisen (siehe Kelvin-Helmholtz-Instabilität im Bild).

Strömungsmesstechnik

2D-Laser-Doppler-Anemometer an einem Strömungskanal

Einsatzgebiete der Strömungsmesstechnik sind die Forschung und Entwicklung, wo es gilt, Strömungsvorgänge zu untersuchen oder zu optimieren. Die Strömungsmesstechnik ist aber auch eine wesentliche Komponente für die Prozessführung in industriellen Anlagen der Chemie- oder Energiewirtschaft. Verlässliche Informationen über Eigenschaften turbulenter Strömungen können nur durch die Strömungsmesstechnik erhalten werden.

Von besonderem Interesse sind die grundlegenden Größen Geschwindigkeit, Druck und Temperatur. Messungen können mit in die Strömung eingebrachten Messsonden aufgenommen werden. Staudrucksonden messen im Fluid den Gesamtdruck, aus dem indirekt auf die Geschwindigkeit rückgeschlossen werden kann. Die Thermische Anemometrie stellt eine weitere indirekte Geschwindigkeitsmessmethode dar. Der Nachteil an diesen indirekten Messungmethoden ist, dass das Messsignal nicht allein von der Geschwindigkeit, sondern auch von anderen Zustandsgrößen abhängt, die also bekannt sein müssen.

Verfahren wie die Particle Image Velocimetry und Laser-Doppler-Anemometrie (siehe Bild) gestattet die direkte und lokale Geschwindigkeitsmessung ohne Sonden. Insbesondere in der Aeroakustik interessieren nicht die Durchschnittswerte, sondern die Schwankungswerte des Drucks, insbesondere die spektrale Leistungsdichte, die durch weitere Signalverarbeitung erhalten wird.

Numerische Strömungsmechanik

Visualisierung einer CFD-Simulation der Boeing X-43 bei Mach 7

Die Leistungsfähigkeit der Computer gestattet es, die Grundgleichungen in wirklichkeitsnahen Randwertproblemen zu lösen und die erzielten, realitätsnahen Resultate haben dazu geführt, dass die numerische Strömungsmechanik ein wichtiges Werkzeug in der Strömungsmechanik wurde. In der aerodynamischen Auslegung und Optimierung haben sich die numerischen Methoden etabliert, denn sie gestatten einen detaillierten Einblick in die Strömungsvorgänge, siehe Bild, und Untersuchung von Modellvarianten.

Die aus der angewandten Mathematik bekannten Methoden zur Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen versehen vorbereitend das Strömungsgebiet mit einem „numerischen Gitter“. Potentialströmungen verlangen den geringsten Aufwand und auch die Euler-Gleichungen erlauben relativ grobe Gitter. Die bei Anwendung der Navier-Stokes-Gleichungen bedeutsamen Grenzschichten und Turbulenzen erfordern eine hohe räumliche Auflösung des Gitters. In drei Dimensionen steigt die Anzahl der Freiheitsgrade mit der dritten Potenz der Abmessung, so dass auch noch im 21. Jahrhundert der Aufwand für die Direkte Numerische Simulation bei Anwendungen in der Fahrzeugentwicklung nicht vertretbar ist. Daher kommen Turbulenzmodelle zum Einsatz, die die notwendige Auflösung zu reduzieren gestatten. Trotzdem sind oftmals Systeme mit mehreren zehnmillionen Gleichungen für mehrere tausend Iterations- oder Zeitschritte zu lösen, was eines Rechnerverbunds und effizienter Programmierung bedarf.

Interdisziplinäre Arbeitsgebiete

Rheologie

Hauptartikel: Rheologie

Die Rheologie oder Fließkunde ist eine interdisziplinäre Wissenschaft, die sich mit dem Verformungs- und Fließverhalten von Materie beschäftigt, und berührt daher auch die Strömungsmechanik. Die phänomenologische Rheologie befasst sich mit der Formulierung von Materialmodellen, die Strukturrheologie trachtet danach, das makroskopische Materialverhalten aus der mikroskopischen Struktur der Stoffe zu erklären, und die Rheometrie stellt Messverfahren zur Bestimmung der rheologischen Eigenschaften, z. B. der Viskosität, bereit.

Fluidenergiemaschinen

Eine mit dem Maschinenbau zusammen arbeitende Disziplin sucht mit Integralformen der Grundgleichungen makroskopische Größen der Strömungen abzuleiten, wie Volumenströme, Kräfte, Arbeiten und Leistungen. Diese Größen sind in Ingenieursproblemen in Fluidenergiemaschinen von besonderem Interesse. Eine der ersten Resultate auf diesem Gebiet formulierte Leonhard Euler in der nach ihm benannten Euler’schen Turbinengleichung.

Mikrofluidik

Ein chemischer Mikroreaktor

Die Mikrofluidik ist das Teilgebiet der Mikrosystemtechnik, das die Umströmung von Objekten oder Durchströmungen von Kanälen, bei Abmessungen kleiner als ein Millimeter, untersucht, siehe Bild. Die kontinuumsmechanische Behandlung von Strömungs- und Transportprozessen auf dieser Längenskala ist in vielen Fällen nicht ohne weiteres möglich. Es werden Korrekturen an den Gleichungen oder gar Molekulardynamik-Simulationen notwendig, um die Strömungsvorgänge korrekt wiederzugeben. Prominenter Anwendungsfall ist der Druckkopf eines Tintenstrahldruckers. Aber auch der Aufbau eines vollständigen Analyselabors auf einem Chip (eng. Lab-on-a-chip für „Labor auf einem Chip“ oder micro-total-analysis system für „Mikro-vollständiges-Analyse-System“) erfordert die Kenntnis der Strömungs- und Transportprozesse auf der Mikroskala.[3]

Bioströmungsmechanik

Die Bioströmungsmechanik befasst sich mit der Innen- und Umströmung von belebten Körpern, deren charakteristisches Merkmal unter anderem ist, von flexiblen und strukturierten Oberflächen berandet zu sein. Es wird die Fortbewegung von Einzellern, Kaulquappen und Fischen bis hin zu Walen im Wasser untersucht. Bei der Fortbewegung durch die Luft wird insbesondere der Vogelflug ergründet. Der Wärme- und Stofftransport in Lebewesen bei der Atmung, im Blut- und Lymphkreislauf und der Wasserkreislauf sind auch in der Medizin von Interesse.[4]

Magnetohydrodynamik

Die Magnetohydrodynamik (MHD) berücksichtigt die elektrischen und magnetischen Eigenschaften von Flüssigkeiten, Gasen und Plasmen und untersucht zusätzlich die Bewegung unter Wirkung der vom Medium selbst erzeugten Felder und die Bewegung in äußeren Feldern. Die Bewegungsgleichungen sind die um elektrodynamische Kräfte erweiterten Euler-Gleichungen, deren Lösung sehr kompliziert werden kann. Durch weitere Annahmen können die Gleichungen jedoch vereinfacht werden, um ihre Lösung zu erleichtern. Die Annahme, dass die elektrische Leitfähigkeit des Plasmas unendlich groß ist, es daher also keinen elektrischen Widerstand besitzt, führt auf die „Ideale MHD“ im Gegensatz zur „resistiven MHD“ mit endlicher Leitfähigkeit. Typische Anwendungsgebiete der Magnetohydrodynamik sind die Strömungsbeeinflussung und die Strömungsmessung in Metallurgie und Halbleiter-Einkristallzüchtung sowie die Beschreibung von Plasmen in stellaren Atmosphären und Fusionsreaktoren.[5]

Kontinuumsmechanische Grundlagen

Strömungen können aus den Augen der statistischen Mechanik als Partikelströme oder als Kontinuumsströmungen betrachtet werden. Letzterer Ansatz kommt aus der Kontinuumsmechanik,[6] in der vom molekularen Aufbau der Fluide abgesehen wird und sie als Kontinuum angenähert werden, in dem die physikalischen Eigenschaften kontinuierlich über den Raum verschmiert sind. Dieser phänomenologische Ansatz erlaubt effizient realitätsnahe Vorhersagen zu formulieren. Die für die Strömungsmechanik relevanten kinematischen, physikalischen und konstitutiven kontinuumsmechanischen Gleichungen werden im Folgenden zusammengefasst.

Kinematik

Die Strömungsmechanik benutzt die eulersche Betrachtungsweise, die die an einem festen Raumpunkt vorhandenen physikalischen Größen untersucht. Weil sich die physikalischen Gesetze auf materielle Punkte (hier: Fluidelemente) und nicht auf Raumpunkte beziehen, muss bei der Zeitableitung die substantielle Ableitung benutzt werden. Diese besteht aus einem lokalen und einem konvektiven Anteil:

Das vom Fluid transportierte Feld f kann skalar- oder vektorwertig sein und hängt wie die Geschwindigkeit vom Ort und der Zeit ab. Die partielle Ableitung ist die lokale Ableitung, d. h. die an einem festen Raumpunkt zu beobachtende Änderungsgeschwindigkeit, und der zweite Term mit dem Gradienten grad oder dem Nabla-Operator ist der konvektive Anteil. Im Fall einer vektoriellen Größe wird in der Strömungsmechanik die Schreibweise mit dem Vektorgradient bevorzugt.

In der Strömungsmechanik ist die Geschwindigkeit die primäre Unbekannte und ihr Gradient, der Geschwindigkeitsgradient

ist eine zentrale Größe bei der Beschreibung von Strömungsvorgängen. Die Geschwindigkeitskomponenten beziehen sich auf ein kartesisches Koordinatensystem mit x-, y- und z-Koordinaten. Für ein Fluidelement mit (infinitesimal) kleinem Volumen dv ergibt sich die Volumenänderungsgeschwindigkeit

Die Spur Sp des Geschwindigkeitsgradienten ist somit ein Maß für die Volumenänderungsgeschwindigkeit, die auf Grund der Massenbilanz unten mit einer Dichteänderung einher geht. Die Spur ist gleich der Divergenz div des Geschwindigkeitsfeldes: Der Geschwindigkeitsgradient kann additiv in einen symmetrischen Anteil d und einen schiefsymmetrischen Anteil w zerlegt werden:

Das Superskript bezeichnet die Transposition. Der symmetrische Anteil d ist der Verzerrungsgeschwindigkeitstensor, mit dem sich mit

die Dehnungsgeschwindigkeit in -Richtung und die Schergeschwindigkeit in der 1-2-Ebene berechnet, die von zueinander senkrechten Einheitsvektoren (mit der Länge eins) aufgespannt wird. Der schiefsymmetrische Anteil w ist der Wirbeltensor, dem über

ein Vektor zugeordnet werden kann, der im Fall des Wirbeltensors Winkelgeschwindigkeit genannt wird und die Drehgeschwindigkeit der Fluidelemente um sich selbst angibt. Nach obiger Definition berechnet sich

Die Rotation rot des Geschwindigkeitsfeldes wird als Wirbelstärke oder Wirbelvektor bezeichnet:

Gelegentlich wird auch definiert, was keinen wesentlichen Unterschied ausmacht.

Naturgesetze

Die Kontinuumsmechanik formuliert die folgenden, an jedem Fluidelement geltenden Naturgesetze:

  1. Massenbilanz:
  2. Impulsbilanz: und
  3. Energiebilanz:

Darin sind ρ die Dichte, eine Schwerebeschleunigung, der Cauchy’sche Spannungstensor, u die innere Energie, der Wärmestrom, innere Wärmequellen z. B. aus Phasenübergängen, „“ das Frobenius-Skalarprodukt von Vektoren und „:“ dasjenige von Tensoren. Die Drehimpulsbilanz reduziert sich auf die Forderung nach der Symmetrie des Spannungstensors

Materialmodelle

Abgeschlossen wird das System aus kinematischen und Bilanzgleichungen durch ein Materialmodell des Fluids, das den Spannungstensor in Abhängigkeit von dem Verzerrungsgeschwindigkeitstensor, der Dichte oder weiteren Konstitutivvariablen spezifiziert. Das Materialmodell der klassischen Materialtheorie für das linear viskose oder newtonsche Fluid

ist das, in der Strömungsmechanik hauptsächlich benutzte Materialmodell. Darin sind p der im Allgemeinen von der Dichte ρ abhängige Druck, λ und μ die ersten und zweiten Lamé-Konstanten und I der Einheitstensor. Der Verzerrungsgeschwindigkeitstensor ist im Allgemeinen voll besetzt und dann treten geschwindigkeitsabhängige Schubspannungen auf, die sich makroskopisch als Viskosität bemerkbar machen. In Kombination mit der Impulsbilanz liefert dieses Modell die Navier-Stokes-Gleichungen. Weil der Druck, die Dichte und der Verzerrungsgeschwindigkeitstensor objektiv sind (siehe Euklidische Transformation), sind die Navier-Stokes-Gleichungen invariant gegenüber einem Wechsel des Bezugssystems.

Im wichtigen Sonderfall der Inkompressibilität, die bei Strömungsgeschwindigkeiten weit unterhalb der Wellenausbreitungsgeschwindigkeit im Fluid in guter Näherung angenommen werden kann, vereinfacht sich diese Gleichung zu

und der Druck p ergibt sich nicht mehr aus einer konstitutiven Beziehung, sondern allein aus den Randbedingungen und der Impulsbilanz. Bei großen Reynoldszahlen oder abseits von Grenzschichten können die viskosen Anteile vernachlässigt werden:

Ein Fluid mit diesem Spannungstensor gehorcht den Euler-Gleichungen der Strömungsmechanik. Wenn hier die Dichte eine eineindeutige Funktion des Drucks ist, dann ist das Fluid Cauchy-elastisch und konservativ, Kompressionsarbeit in ihm jedenfalls reversibel.

Neben diesen klassischen Materialmodellen betrachtet die Strömungsmechanik auch jedes andere fließende Material, unter anderem Plasma, nicht-newtonsche Fluide oder duktile Materialien bei großen Verformungen, wo die elastische Deformation gegenüber der plastischen vernachlässigt werden kann.

Siehe auch

Literatur

  •  Prandtl-Führer durch die Strömungslehre. Grundlagen und Phänomene. 13. Auflage. Springer Vieweg, 2012, ISBN 978-3-8348-1918-5.
  •  F. Durst: Grundlagen der Strömungsmechanik. Springer, 2006, ISBN 3-540-31323-0.
  •  G. Bollrich: Technische Hydromechanik 1. Grundlagen. Verlag Bauwesen, 2007, ISBN 3-345-00912-9.
  •  A. Dillmann, K. Wieghardt: Theoretische Strömungslehre. Universitätsverlag Göttingen, 2005, ISBN 3-938616-33-4.
  •  George Keith Batchelor: An Introduction to Fluid Dynamics. Cambridge University Press, 1967, ISBN 0-521-04118-X.
  •  P. K. Kundu: Fluid Mechanics. Academic Press, 2015, ISBN 978-0-12-405935-1.
  •  Wolfgang Schröder: Fluidmechanik. Wissenschaftsverlag Mainz in Aachen, Aachen 2004, ISBN 3-86130-371-X.
  •  Jann Strybny: Ohne Panik Strömungsmechanik. 2. Auflage. Vieweg, 2005, ISBN 3-528-13194-2.

Weblinks

Commons: Strömungsmechanik - Weitere Bilder oder Audiodateien zum Thema
 Wiktionary: Strömung – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Einzelnachweise

  1.  F. Durst: Grundlagen der Strömungsmechanik. Springer, 2006, ISBN 3-540-31323-0, S. 10–16.
  2.  Prandtl-Führer durch die Strömungslehre. Grundlagen und Phänomene. 13. Auflage. Springer Vieweg, 2012, ISBN 978-3-8348-1918-5, S. 58.
  3.  Nam-Trung Nguyen: Mikrofluidik. Entwurf, Herstellung und Charakterisierung. Vieweg+Teubner Verlag, 2004, ISBN 978-3-519-00466-0.
  4.  H. Oertel: Bioströmungsmechanik. Grundlagen, Methoden und Phänomene. 2. Auflage. Vieweg+Teubner, 2012, ISBN 978-3-8348-1765-5.
  5.  Peter A. Davidson: An introduction to magnetohydrodynamics. Cambridge Univ. Press, Cambridge 2006, ISBN 978-0-521-79487-9.
  6.  Peter Haupt: Continuum Mechanics and Theory of Materials. Springer, 2002, ISBN 3-540-43111-X.