Johannes Trüper und Strömungsmechanik: Unterschied zwischen den Seiten

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'''Johannes Trüper''' (* [[Wikipedia:2. Februar|2. Februar]] [[Wikipedia:1855|1855]] in [[Wikipedia:Rekum|Rekum]]/[[Wikipedia:Landkreis Blumenthal|Landkreis Blumenthal]]; † [[Wikipedia:1. November|1. November]] [[Wikipedia:1921|1921]] in [[Wikipedia:Jena|Jena]]) war ein [[Deutschland|deutscher]] [[Pädagoge]] aus dem Kreis der „Thüringer Erzieher“ und Mitbegründer der [[Heilpädagogik]] sowie angrenzender pädagogischer Arbeitsfelder. Er vertrat eine lebensnahe Pädagogik, die auf konkretes, gemeinschaftsorientiertes Handeln ausgerichtet ist und dem Einzelnen durch einen möglichst breit gefächerten Ansatz in Förderung und Erziehung begegnen will. Seine Arbeit wurzelt in [[Christentum|christlichen]] Glaubensüberzeugungen und Ideen der [[Sozialfürsorge]] des ausgehenden 19. Jahrhunderts. Sein [[Psychopathie]]-Konzept bahnte ein neues Verständnis beeinträchtigter Kinder und Jugendlicher an, indem es an Stelle einer vermeintlichen charakterlich-moralischen Minderwertigkeit von deren gesundheitlicher und sozialer Situation ausging, und eine Verknüpfung von eingehender Erziehung und [[Therapie]] anstrebte.
Die '''Strömungsmechanik''', '''Fluidmechanik''' oder '''Strömungslehre''' ist die [[Wissenschaft]] vom physikalischen Verhalten von [[Fluid]]en. Die in der Strömungsmechanik gewonnenen Kenntnisse sind Gesetzmäßigkeiten in Strömungsvorgängen und dienen der Lösung von Strömungsproblemen in der Auslegung von durch- bzw. umströmten Bauteilen sowie der Überwachung von '''Strömungen'''. Angewendet wird sie unter anderem im [[Maschinenbau]], [[w:Chemieingenieurwesen|Chemieingenieurwesen]], der [[Wasserwirtschaft|Wasser-]] und [[Energiewirtschaft]], [[Meteorologie]], [[Astrophysik]] und der [[Medizin]]. Ihre Grundlagen findet sie in der [[Kontinuumsmechanik]] und [[Thermodynamik]], also der [[Klassische Physik|klassischen Physik]].


Besondere Bedeutung erlangte er durch die Gründung eines neuartigen Heimes für Schülerinnen und Schüler, die aufgrund verschiedener Beeinträchtigungen im damaligen Schulwesen keinen Platz fanden.
== Historische Entwicklung ==
Die Strömungsmechanik beruht auf der [[Kontinuumsmechanik]], [[Physik]] und [[Differentialrechnung]], deren jeweiliger historischer Werdegang dort nachgeschlagen werden kann. An dieser Stelle soll die spezifisch strömungsmechanische Entwicklung skizziert werden.


== Leben ==
[[Archimedes]] (287–212 v. Chr.) befasste sich mit strömungsmechanischen Fragestellungen ([[Archimedisches Prinzip]], [[Archimedische Schraube]]). [[Sextus Iulius Frontinus]] (ca. 35–103 n. Chr.) dokumentierte seine Kenntnisse über die Wasserversorgung in der Antike, über tausend Jahre bevor sich [[Leonardo da Vinci#Wissenschaftliche Arbeiten|Leonardo da Vinci]] (1452–1519) mit Strömungsvorgängen auseinandersetzte.
Trüper, der sich später Johannes nannte, kam 1855 als das vierte von sechs Kindern des Schiffszimmermannes Johann Trüper und seiner Ehefrau Anna Meta, geb. Chantelau, zur Welt. Er besuchte zunächst die Volksschule und – für ihn weitaus bedeutsamer – eine höhere Privatschule mit bemerkenswertem Erfolg. Dabei durfte er als Jugendlicher bereits aushilfsweise an einer Dorfschule unterrichten und erste Lehrerfahrung sammeln. Mit 17 Jahren trat er in das [[Wikipedia:Bremer Lehrerseminare|''Bremer Lehrerseminar'']] ein, war jedoch von der Überbetonung bloßer Wissensvermittlung gegenüber psychologischen Aspekten sowie vom Zustand des Schulwesens seiner Zeit schwer enttäuscht.


Nach seinem Examen unterrichtete der junge Lehrer mehrere Jahre in Schulen bei [[Wikipedia:Bremen|Bremen]]. In dieser Zeit trat er dem Lehrerverein bei und setzte sich in zahlreichen Aufsätzen kritisch mit Mängeln des Schulsystems und anderen sozialen Fragen in Zusammenhang mit der Erziehung heranwachsender Persönlichkeiten auseinander. In Bremen kam Trüper auch mit dem Pädagogen [[Wikipedia:Friedrich Wilhelm Dörpfeld|Friedrich Wilhelm Dörpfeld]] in Verbindung, der seine Arbeit in pädagogischer und philosophischer Hinsicht sehr bereicherte. Anfänglichen Kontakten über Fachpublikationen folgte eine enge persönliche Bekanntschaft; zuletzt ordnete er dessen Nachlass.
[[Galileo Galilei]] (1564–1642) gab Impulse in der experimentellen Hydrodynamik und überarbeitete das von [[Aristoteles]] eingeführte Konzept des [[Vakuum]]s. [[Evangelista Torricelli]] (1608–1647) erkannte im Gewicht der [[Erdatmosphäre]] die Ursache des [[Luftdruck]]s und verband den horizontal ausgestoßenen Flüssigkeitsstrahl mit den Gesetzen des freien Falls ([[Torricelli’sches Ausflussgesetz]]). [[Blaise Pascal]] (1623–1662) beschäftigte sich unter anderem mit der Hydrostatik und formulierte den Satz von der allseitigen [[Druck (Physik)|Druck]]<nowiki>fortpflanzung</nowiki>. [[Edme Mariotte]] (1620–1684) lieferte Beiträge zu Problemen der Flüssigkeiten und Gase und stellte dabei erste Konstitutivgesetze auf. [[Henri de Pitot]] (1695–1771) untersuchte den Staudruck in Strömungen.


Nicht zuletzt aus gesundheitlichen Gründen bat Trüper schließlich um Beurlaubung vom Schuldienst und ging 1887 nach [[Wikipedia:Jena|Jena]], um dort ein fachlich breit angelegtes Studium unter anderem in [[Philosophie]], [[Pädagogik]], [[Psychiatrie]] und [[Naturwissenschaft]]en aufzunehmen. Er profitierte dabei maßgeblich vom intellektuellen Klima an der Universität und der sich dort sammelnden pädagogischen Fachkompetenz. So kam er − teils persönlich − mit vielen der bedeutendsten Gelehrten seiner Zeit in Kontakt und hörte Vorlesungen bei [[Wikipedia:Wilhelm Rein|Wilhelm Rein]], [[Ernst Haeckel]], [[Wikipedia:Rudolf Eucken|Rudolf Eucken]] und [[Wikipedia:Otto Binswanger|Otto Binswanger]].
[[Isaac Newton]] veröffentlichte 1686 seine dreibändige [[Philosophiae Naturalis Principia Mathematica|Principia]] mit den Bewegungsgesetzen und definierte zudem im zweiten Buch die [[Viskosität]] einer idealen (''[[Newtonsches Fluid|newtonschen]]'') Flüssigkeit. [[Daniel Bernoulli]] (1700–1782) begründete die Hydromechanik, indem er Druck und Geschwindigkeit in der nach ihm benannten [[Bernoulli-Gleichung|Energiegleichung]] verband und [[Leonhard Euler]] (1707–1783) formulierte die [[Euler-Gleichungen (Strömungsmechanik)|Bewegungsgleichungen]] für [[ideale Flüssigkeit]]en. Von nun an konnten Erkenntnisse auch durch Untersuchungen der mathematischen Gleichungen gewonnen werden. [[Jean-Baptiste le Rond d’Alembert]] (1717–1783) führte die [[eulersche Betrachtungsweise]] und [[komplexe Zahl]]en in der [[Potentialströmung|Potentialtheorie]] ein, leitete die lokale [[Kontinuumsmechanik#Massenbilanz|Massenbilanz]] her und formulierte das [[d’Alembertsches Paradoxon|d’Alembert’sche Paradoxon]], demgemäß von der Strömung idealer Flüssigkeiten auf einen Körper keine Kraft in Richtung der Strömung ausgeübt wird (was Euler schon vorher bewies). Wegen dieser und anderer Paradoxien reibungsfreier Strömungen war klar, dass die Euler’schen Bewegungsgleichungen zu ergänzen sind.


Seine weiteren Studien- und Promotionsvorhaben gab er jedoch auf, als er gebeten wurde, einen seelisch beeinträchtigten, intellektuell begabten Jungen, für den sich nach einer Konsultation bei Otto Binswanger keine adäquate Unterbringung finden ließ, einige Zeit zu betreuen. Da ihn diese Aufgabe begeisterte und offensichtlich Bedarf vorhanden war, nahm Trüper nach und nach weitere Kinder auf, und beschloss, sich diese Arbeit zur Lebensaufgabe zu machen.
[[Claude Louis Marie Henri Navier]] (1785–1836) und [[George Gabriel Stokes]] (1819–1903) erweiterten die Euler’schen Bewegungsgleichungen um [[Viskosität|viskose]] Terme zu den [[Navier-Stokes-Gleichungen]], die Strömungen realitätsnah modellieren. [[Giovanni Battista Venturi]] (1746–1822), [[Gotthilf Heinrich Ludwig Hagen]] (1797–1884) und [[Jean Léonard Marie Poiseuille]] (1799–1869) führten experimentelle Untersuchungen in Strömungen durch. [[William Froude]] (1810–1879) ermittelte den Schwimmwiderstand von Schiffen, [[Ernst Mach]] (1838–1916) leistete Pionierarbeit in der Überschallaerodynamik, [[John Strutt, 3. Baron Rayleigh|Lord Rayleigh]] (1842–1919) untersuchte hydrodynamische Instabilitäten und [[Vincent Strouhal]] (1850–1922) erforschte die Schwingungsanregungen durch ablösende [[Wirbel (Strömungslehre)|Wirbel]]. [[Hermann von Helmholtz]] (1821–1894) formulierte die nach ihm benannten [[Helmholtzsche Wirbelsätze|Wirbelsätze]] und begründete durch mathematisch ausgearbeitete Untersuchungen über Wirbelstürme und Gewitter die wissenschaftliche [[Meteorologie]]. Weitere bahnbrechende Arbeiten wurden von [[Osborne Reynolds]] (1832–1912, [[Reynolds-Gleichungen]], [[Reynoldszahl]]) und [[Ludwig Prandtl]] (1875–1953, unter anderem zur [[Hydrodynamische Grenzschicht|hydrodynamischen Grenzschicht]]) vorgelegt.


1890 gründete Trüper in Jena sein ''Heim für entwicklungsgeschädigte und -gestörte Kinder'', für das er zwei Jahre später die ''Sophienhöhe'', ein ehemaliges Sanatorium, erwarb. Unter verschiedenen Bezeichnungen und wechselnden Rahmenbedingungen entfaltete dieses Heim seine umfassende heil- und sozialpädagogische Konzeption für Kinder und Jugendliche mit verschiedenen Beeinträchtigungen. Nachhaltige Unterstützung – auch in finanzieller Hinsicht – erfuhr Johannes durch seine Schwester Meta Trüper, die seine Arbeit lebenslang begleitete.
[[Andrei Nikolajewitsch Kolmogorow]] (1903–1987) erweiterte die Theorie der [[Turbulente Strömung|turbulenten Strömung]]. Ab Mitte des 20. Jahrhunderts entwickelten sich die [[Strömungsmesstechnik]] und [[numerische Strömungsmechanik]] so weit, dass mit ihrer Hilfe Lösungen für praktische Probleme gefunden werden können.<ref>{{Literatur |Autor=F. Durst |Titel=Grundlagen der Strömungsmechanik |Verlag=Springer |Datum=2006 |ISBN=3-540-31323-0 |Seiten=10–16}}</ref>


Zusammen mit [[Wikipedia:Julius Ludwig August Koch|Julius Ludwig August Koch]], dem Direktor der ''Staatsirrenanstalt [[Wikipedia:Zwiefalten|Zwiefalten]]'' (heute: ''Münsterklinik''), Christian Ufer, einem Regelschullehrer, und dem evangelischen Theologen [[Wikipedia:Friedrich Zimmer|Friedrich Zimmer]], Begründer des ''[[Wikipedia:Evangelischer Diakonieverein Berlin-Zehlendorf|Evangelischen Diakonievereins]]'', rief er 1895 die Zeitschrift ''Die Kinderfehler'' ins Leben, „die auf ihrem Gebiet [...] für die Entwicklung der Heilpädagogik von höchster Bedeutung geworden“ ist.<ref>Henze 1934, Sp. 2947f.</ref> 1900 erhielt das Blatt seinen späteren Namen ''Zeitschrift für Kinderforschung. Mit besonderer Berücksichtigung der pädagogischen Pathologie''. Die Zeitschriftengründer waren zugleich Herausgeber, wobei Trüper die Schriftleitung übernahm. Bis zu seinem Tod war das Periodikum Organ des ''Vereins für Kinderforschung'', an dessen Gründung 1898 er beteiligt gewesen war. Ein Höhepunkt seines öffentlichen Wirkens war der ''Kongreß für Kinderforschung und Jugendfürsorge'', der vom 1. bis 4. Oktober 1906 in Berlin stattfand und an dem über 700 Personen teilnahmen.
== Methodik ==
Gegenstand der Strömungsmechanik sind die Bewegungen von Fluiden, ruhenden, fließenden oder strömenden Medien. Die Suche nach Gesetzmäßigkeiten von Bewegungen und Lösungen für Strömungsprobleme bedient sich dreierlei Methoden:
; Analytische Methoden: Gesetzmäßigkeiten werden in Form von Gleichungen formuliert, die mit Hilfe der angewandten Mathematik behandelt werden können.
; Experimentelle Methoden: Die Phänomenologie der Strömungsvorgänge wird erkundet mit dem Ziel Gesetzmäßigkeiten herauszufinden.
; Numerische Methoden: Durch einen detaillierten Einblick auch in komplizierte und kurzzeitige Strömungsvorgänge unterstützen und ergänzen die Berechnungen die analytischen und experimentellen Methoden.


1896 heiratete Trüper Elisabeth Melaleuka Dörr, Tochter eines Bonner Apothekers aus dem Umkreis Friedrich Wilhelm Dörpfelds. Aus dieser Ehe gingen sechs Kinder hervor, die später die pädagogische Arbeit ihres Vaters fortsetzten. Der Überlieferung nach prägte Elisabeth Melaleuka die Atmosphäre der Heimgemeinschaft entscheidend mit; wie sich jedoch die offenbar „glückliche“ Beziehung der beiden unter den ständigen Herausforderungen des Heimlebens gestaltete, ist nicht näher bekannt.
Die Komplexität des Gegenstandes macht die kombinierte Nutzung aller drei Methoden für die Lösung praktischer Strömungsprobleme notwendig.


Trüper starb im Alter von 66 Jahren infolge einer Krebserkrankung, nachdem es ihm zuvor gelungen war, den Heimbetrieb geordnet zu übergeben. Er wurde im Park der Sophienhöhe begraben.
== Teilgebiete ==
=== Fluidstatik ===
{{Hauptartikel|Fluidstatik}}
[[Datei:Hydrostatisches Paradoxon4.svg|mini|[[Hydrostatisches Paradoxon]]: Der Flüssigkeitsdruck am Boden (rot) ist in allen drei Gefäßen identisch.]]


Ein Teil seines, bisher nicht vollständig aufgearbeiteten, Nachlasses befindet sich im ''Heilpädagogischen Archiv der Humboldt-Universität Berlin'' sowie bei weiteren wissenschaftlichen Institutionen und in Familienbesitz.
Die Fluidstatik betrachtet ''ruhende'' Fluide, wobei die [[Hydrostatik]] Inkompressibilität voraussetzt, die Wasser in guter Näherung aufweist. Hier interessiert die Druckverteilung in ruhenden Flüssigkeiten und die daraus resultierenden Kräfte auf Behälterwände, siehe Bild. Schwimmende Körper erfahren einen [[Statischer Auftrieb|statischen Auftrieb]] und es interessiert die Frage, unter welchen Voraussetzungen die [[Schwimmstabilität]] des Körpers gegeben ist. Thermische Effekte sind hier von untergeordneter Bedeutung.


=== Ehrungen ===
Die [[Aerostatik]] betrachtet die Gesetzmäßigkeiten in ruhender [[Atmosphäre (Astronomie)|Atmosphäre]] oder [[Erdatmosphäre]] und hier sind Dichteänderungen und thermische Effekte ausschlaggebend. Betrachtet wird beispielsweise die [[Atmosphärenschichtung]] und die [[Barometrische Höhenformel|Druck- und Temperaturverteilung]] über die Höhe in der Erdatmosphäre.
* Eine Schule für Erziehungshilfe in [[Wikipedia:Chemnitz|Chemnitz]] wurde nach ihm benannt.
* Die ''Johann-Trüper-Straße'' in Bremen-[[Wikipedia:Rekum|Rekum]] wurde nach ihm benannt.
* Der Weg zur "Sophienhöhe" in [[Wikipedia:Jena|Jena]] erhielt 1991 den Namen "Trüperweg".


== Pädagogische Konzeption ==
=== Ähnlichkeitstheorie ===
=== Grundzüge und Ideen ===
{{Hauptartikel|Ähnlichkeitstheorie}}
Trüper strebte im Grundsatz eine lebensnahe Pädagogik an, die mit ihrem breit ausgelegten Ansatz die Persönlichkeit seiner (beeinträchtigten) Schüler als Ganzes erfasst und sie durch eine eingehende, auf den Einzelnen abgestimmte Erziehung befähigt, aktiv am Gesellschaftsleben teilzunehmen. Prägende Leitgedanken sind dabei der „erziehende Unterricht“, der neben der Vermittlung von Lerninhalten zugleich die Weiterentwicklung der Persönlichkeit unterstützen soll, und die neu eingeführte Verknüpfung von Therapie und Medizin, um den Problemen belasteter Schüler umfassend gerecht zu werden.
[[Datei:MD-11 12ft Wind Tunnel Test.jpg|mini|[[Windkanal]] der [[National Aeronautics and Space Administration|NASA]] mit dem Modell einer MD-11]]


Praktisches Handeln und Arbeiten (etwa in den Anlagen des Heims) wird, neben dem eigentlichen Unterricht, ein wichtiges Element der Erziehung zu einem selbständigen Leben. Durch diese Erweiterung des pädagogischen Programms können auch schwerer beeinträchtigte Schüler zu einer sinnvollen Beschäftigung finden und konkrete Fertigkeiten erwerben.
Die Ähnlichkeitstheorie beschäftigt sich damit, aus einem bekannten und zugänglichen (Modell)-System Rückschlüsse auf ein interessierendes aber experimentell unzugängliches (Real)-System zu bilden, das z.&nbsp;B. größer oder kleiner, schneller oder langsamer oder sich in anderen Dimensionen nur quantitativ vom Modellsystem unterscheidet, siehe Bild. ''Kinematisch ähnlich'' sind zwei Strömungen, wenn sie ähnliche räumliche Bewegungen ausführen. Voraussetzung hierfür ist, dass ähnliche Randbedingungen vorliegen (''geometrische Ähnlichkeit'') und auf die Fluidelemente ähnliche Kräfte wirken, was ''dynamische Ähnlichkeit'' bedeutet. Die Ähnlichkeitsbetrachtungen werden auch auf Wärmetransportprobleme bei ''thermischer Ähnlichkeit'' angewendet. Begründet wurde die Ähnlichkeitstheorie 1883 von [[Osborne Reynolds]] in Form des Reynolds’schen Ähnlichkeitsgesetzes, das besagt, dass die Strömungen am Original und am Modell mechanisch ähnlich verlaufen, wenn die [[Reynolds-Zahl]]en übereinstimmen.


Im Trüper'schen Ansatz werden beeinträchtigte Jugendliche neu als Mitmenschen mit charakteristischen Eigenschaften, Stärken und Schwächen wahrgenommen, deren Probleme man durch gezielte [[Erziehung]] angehen muss, um ihnen bessere Werdechancen zu ermöglichen. Eine entscheidende Rolle spielt dabei die Erzieherpersönlichkeit, die sich selbst stark und authentisch einbringen muss und dabei fortwährend vor der Aufgabe steht, psychologisches Fachwissen mit pädagogischer [[Intuition]] zu verbinden, um in der jeweiligen konkreten, individuellen Situation zu angemessenen Lösungen zu gelangen.
=== Stromfadentheorie ===
{{Hauptartikel|Stromfadentheorie}}
Die Stromfadentheorie betrachtet Strömungen entlang einer von [[Stromlinie]]n gebildeten, (infinitesimal) dünnen Stromröhre, in der die Zustandsgrößen Geschwindigkeit, Druck, Dichte und Temperatur als über den Querschnitt des Stromfadens konstant angenommen werden können. Auf diese Volumina können die Integralformen der Grundgleichungen angewendet werden, um so weitere Lösungen von Strömungsproblemen zu erarbeiten. Ein stationäres Strömungsgebiet besteht aus Stromfäden, so dass es gelingt die globalen Eigenschaften der Strömung mit den Eigenschaften der Stromfäden zu beschreiben. Prominenter Anwendungsfall ist die Strömung durch Röhren und [[Düse]]n. Die Gesamtheit der eindimensionalen Strömungen von Wasser werden unter dem Sammelnamen [[Hydraulik]] zusammengefasst.<ref>{{Literatur |Hrsg=H. Oertel |Titel=Prandtl-Führer durch die Strömungslehre. Grundlagen und Phänomene |Auflage=13. |Verlag=Springer Vieweg |Datum=2012 |ISBN=978-3-8348-1918-5 |Seiten=58}}</ref> Die [[Fluidtechnik]] und [[Fluidik]] wenden die Hydraulik und [[Pneumatik]] an, um Energie zu übertragen oder Signale zu verarbeiten.


Trotz des stark auf die Einzelsituation ausgerichteten Erziehungsmodells bleibt die Erziehung in der und für die Gemeinschaft erklärtes Ziel, wobei Trüper die gegenseitige Unterstützung zwischen (verschiedenartig beeinträchtigten) Kindern besonders betont. [[Strafe]]n als Erziehungsmittel werden – besonders in der Heilpädagogik – entgegen traditioneller Vorstellungen zurückgenommen; der Erzieher bleibt dennoch stets eine wohlwollende, einsichtige und glaubhafte, aber bestimmte [[Autorität]]. Eine deutlichere Akzentuierung der [[Selbstentfaltung]] von Kindern nach deren Wertevorstellungen, wie sie nachfolgende Ansätze propagieren, wird abgelehnt.
=== Potentialströmungen ===
{{Hauptartikel|Potentialströmung}}
[[Datei:Streamlines relative to airfoil.png|mini|Stromlinien um ein [[Profil (Strömungslehre)|Flügelprofil]]]]


Trüpers Pädagogik stützt außerdem auf eine zeittypisches positives Bild der [[Natur]] sowie auf ein christlich inspiriertes Idealbild der [[Familie]] als beschützender Ort des Heranwachsens. Vom Kontakt mit der „freien Natur“ erhoffte er sich, insbesondere im Gegensatz zu den [[Stadt]]landschaften der frühen [[Industrialisierung]], vielfältige Impulse für eine gelingende Persönlichkeitsentwicklung; die Familie soll hingegen als Baustein der Gesellschaft eine rollengerechte Erziehung durch liebevolle [[Vorbild]]er gewährleisten.
In Potentialströmungen ergibt sich das [[Geschwindigkeitsfeld]] aus der Ableitung eines [[Geschwindigkeitspotential]]s, weshalb solche Strömungen grundsätzlich reibungs- und [[Wirbelstärke|rotationsfrei]] sind. Eine [[laminare Strömung]] bei niedrigen [[Reynolds-Zahl]]en folgt in guter Näherung einer Potentialströmung, wenn die fluiddynamische Grenzschicht an den Rändern der Strömung keine wesentliche Rolle spielt. Die Potentialtheorie findet Anwendung in der Auslegung und im Design von Flugzeugen. Potentialströmungen sind relativ einfach zu berechnen und erlauben analytische Lösungen für viele Strömungsprobleme.


Bezüglich der Lerninhalte fordert Trüper allgemein die Aktualisierung der damaligen Vorgaben, sodass die Lernenden in ihrer, durch die aufkommende Industrialisierung vielfach ungewöhnlich schwierige, Lebenssituation angesprochen werden können und die Erziehung sie auf das Leben in der veränderten Gesellschaft vorbereitet.
Eine andere Idealisierung, die Rotation erlaubt, aber nur inkompressible Medien betrachtet, gestattet die Einführung einer [[Stromfunktion]]. Diese ist allerdings nur in ebenen oder als [[Stokessche Stromfunktion]] in drei dimensionalen, axialsymmetrischen Fällen anwendbar. Die Höhenlinien der Stromfunktionen sind Stromlinien.


Insbesondere für seine förderungsbedürftigen Schüler, jedoch auch für das gesamte Schulsystem, strebt er eine Konzentration und Reduktion des Lernstoffs an, um eine [[Wikipedia:Überforderung#Schulpädagogik|Überforderung der Schüler]], die Fehlentwicklungen begünstigen könnte, und eine Überfrachtung mit unverstandenem Buchwissen ohne konkrete Bezüge zu verhindern.
In ebenen, dichtebeständigen ''und'' rotationsfreien Strömungen kann das Geschwindigkeitsfeld mit komplexen Funktionen ausgedrückt und somit deren weitreichenden Eigenschaften ausgenutzt werden. Mit Hilfe dieser Theorie konnten Anfang des 20. Jahrhunderts erste auftriebserzeugende Flügelprofile entwickelt werden, siehe Bild.


=== Umsetzung und Arbeitsweise ===
=== Gasdynamik ===
Trüper legte seiner Heimerziehung das – zu seiner Zeit noch vielfach angezweifelte – Prinzip der [[Wikipedia:Koedukation|Koedukation]] zugrunde, da er im möglichst unkomplizierten Zusammenleben von Jungen und Mädchen eine wichtige Vorbereitung auf ein aktives Leben sah; damit verband sich jedoch keinesfalls eine tiefgreifendere Kritik an den traditionellen [[Soziale Rolle|Rollen]]- und Moralvorstellungen.
{{Hauptartikel|Gasdynamik}}
Der Gegenstand der Gasdynamik sind schnelle Strömungen dichteveränderlicher Fluide, die bei Flugzeugen und in [[Düse]]n vorkommen. Diese Strömungen werden durch die [[Mach-Zahl]] M charakterisiert. Kompressibilität wird erst ab Machzahlen größer 0,2 bedeutsam, so dass dann hohe Reynolds-Zahlen vorliegen und Viskositätsterme und Gravitionskräfte vernachlässigbar sind. Die Strömungen sind auch schneller als der Wärmetransport, weswegen [[adiabatische Zustandsänderung]]en angenommen werden können. Die Gesetzmäßigkeiten werden mit der Stromfaden- und Ähnlichkeitstheorie abgeleitet. Ein besonderes Phänomen, das hier auftreten kann, ist die [[Stoßwelle]] und der [[Verdichtungsstoß]], dessen bekanntester Vertreter die [[Schallmauer]] ist.


Der [[Unterricht]] wurde grundsätzlich in drei Klassenstufen erteilt, die ungefähr auf verschiedene Anforderungsniveaus des allgemeinen Schulsystems abgestimmt waren. Unterrichtet wurde jedoch regulär auch in flexibel gebildeten Gruppen mit gleichen Lernbedürfnissen. Entsprechend begabte Schüler konnten extern das [[Abitur]] ablegen und dennoch zugleich Heimbewohner bleiben.
=== Fluiddynamik ===
{{Hauptartikel|Fluiddynamik}}
[[Datei:StokesWelle.png|mini|Stokes’sche Welle mit [[Bahnlinie]]n (türkis) einiger Wasserteilchen]]


== Pädagogische Praxis: Die Sophienhöhe ==
Die Fluiddynamik ist das Teilgebiet, das sich mit bewegten Fluiden beschäftigt. Analytische Lösungen können hier nur durch Beschränkung auf eine oder zwei Dimensionen, auf Inkompressibilität, einfache Randbedingungen und auf kleine Reynolds-Zahlen erreicht werden, wo die Beschleunigungsterme gegenüber den Viskositätstermen vernachlässigt werden können. Zwar sind solche Lösungen praktisch wenig relevant, vertiefen jedoch trotzdem das Verständnis von Strömungsvorgängen.
=== Ursprüngliches Konzept ===
Trüpers Konzeption entwickelte sich im Wesentlichen in der pädagogischen Praxis seines Heims, der Sophienhöhe bei Jena, das vor allem in der Zeit bis zum Ersten Weltkrieg schrittweise aufgebaut wurde. Knapp 30 Pädagogen betreuten dort nach dem, damals noch ungewöhnlichen, Prinzip der Koedukation etwa 125 Schüler mit unterschiedlichen Erkrankungen und Schwierigkeiten. Darunter befanden sich auch Kinder und Jugendliche, die nicht hauptsächlich gesundheitliche, sondern schulische und soziale Probleme aus ihrem ursprünglichen Umfeld mitbrachten.


Die − betont eng verbundene Heimgemeinschaft − war in Familien nachempfundenen Gruppen organisiert: Die Kinder hatten jeweils eine feste Bezugsperson zur Betreuung, die in der Regel auch bei ihrer Gruppe auf der Sophienhöhe wohnte und eng in das Heim eingebunden war. Die Organisation setzte dabei klar auf Autorität und Hierarchie. Diese enge Einbindung schuf einerseits eine menschlich wie pädagogisch sehr intensive Situation, forderte jedoch extremen Einsatz vonseiten des Personals und brachte aus heutiger Sicht durchaus problematische Arbeitsbedingungen mit sich.
Bei kleinen Reynoldszahlen vermag die Viskosität des Fluids kleine Fluktuationen der Strömungsvariablen zu dämpfen, so dass eine eventuell auch zeitabhängige, laminare Strömung dann stabil gegenüber kleinen Störungen ist. Mit zunehmender Reynolds-Zahl wird dieser Dämpfungsmechanismus überfordert und die laminare Strömung geht in eine irreguläre [[turbulente Strömung]] über. Die Turbulenzforschung erreicht Einsichten über solche Strömungen durch statistische Betrachtungen.


Die Sophienhöhe bot eine vergleichsweise moderne Infrastruktur, die mehrere Wohngebäude für die Gruppen sowie Wirtschafts- und Gemeinschaftsräume umfasste. Die Einrichtung verfügte über eine eigene Landwirtschaft und Gärtnerei, eine [[Wikipedia:Tischler|Tischler]]- und [[Wikipedia:Schlosserei|Schlosserwerkstatt]] − alle nicht zuletzt zur praktischen Betätigung der Jugendlichen − sowie unter anderem Möglichkeiten für technischen Anschauungsunterricht, ein Schwimmbad und eine Turnhalle mit Versammlungsmöglichkeit. Auf diese Weise fand der umfassende Ansatz Trüpers in der Gemeinschaft der „Sophienhöher“ eine praktische Umsetzungsmöglichkeit.
Bei großen Reynoldszahlen sind umgekehrt die Viskositätsterme gegenüber den Beschleunigungstermen klein und der Einfluss der Randbedingungen auf die Strömung ist auf wandnahe Bereiche beschränkt. Mit diesen beschäftigt sich die von [[Ludwig Prandtl]] begründete [[Grenzschichttheorie]].


=== Weitere Entwicklung ===
Die [[Aerodynamik]] untersucht das Verhalten von Körpern in kompressiblen Fluiden (zum Beispiel Luft) und ermittelt Kräfte und Momente, die auf umströmte Körper wirken. Zur Aerodynamik gehört die Vorhersage der Windkräfte auf Gebäude, Kraftfahrzeuge und Schiffe.
Nach dem Tod ihres Gründers geriet die Sophienhöhe zunächst in konzeptionelle und finanziell-organisatorische Schwierigkeiten: Besonders die veränderten gesellschaftlich-politischen Rahmenbedingungen stellten die Arbeit vor neue Herausforderungen, die jedoch unter dem neuen Leiter [[Wikipedia:Otto Haase|Otto Haase]] (bis 1930) mit neuen Impulsen erfolgreich angegangen werden konnten. Im Anschluss wurde das Heim, zeitweise unter Mitwirkung von [[Wikipedia:Hanns Eyferth|Hanns Eyferth]], erneut von Nachkommen Trüpers geführt.


In der Zeit des Nationalsozialismus musste sich auch dieses Heim einem System stellen, das den Ideen der Heilpädagogik fundamental entgegengesetzt war. Unter schwierigsten Bedingungen wurde, auch mittels möglichst geringfügiger Anpassung, versucht, die Arbeit im Interesse der Schüler fortzusetzen, was offenbar in vielen Fällen gelang. Einzelheiten sind jedoch nicht immer eindeutig zu klären und aufzuarbeiten.
Das Wissensgebiet um die Wellenbewegungen in Fluiden befasst sich mit zeitlichen ''und'' räumlichen Bewegungen eines Fluids um eine mittlere Ruhelage. Die [[Aeroakustik]] beschäftigt sich mit den Gesetzmäßigkeiten solcher Wellen – [[Schallwelle]]n – in der Luft. Die Hydromechanik unterscheidet u.&nbsp;a. die [[Schwerewelle]]n, die höheren Stokes-Wellen, siehe Bild, die kleinen [[Kapillarwelle]]n und die aperiodischen [[Soliton]]en. In der Fluiddynamik werden die Ursachen, Eigenschaften und die Grundgleichungen dieser [[Orbitalbewegung (Wasserwellen)|Wellenbewegungen]] untersucht.


In der Nachkriegszeit bestand das Heim zunächst unter Leitung der Familie fort, fand jedoch im Schulsystem der [[Wikipedia:DDR|DDR]] keine aussichtsreiche Zukunftsperspektive. Nach deren Rückzug wurde es in eine Sonderschule im Sinne sozialistischer Praxis umgeformt und bestand so in unterschiedlicher Prägung bis 1966. Zuletzt führten konzeptionelle und bauliche Mängel, vor allem jedoch ein schwerer Brand, bei dem mehrere Schüler zu Tode kamen, zur Schließung des Heims.
[[Mehrphasenströmung]]en mit festen, flüssigen und/oder gasförmigen Anteilen sind die in der Natur und Technik am häufigsten auftretenden Strömungsformen und bekommen dadurch eine besondere Relevanz. Die Mischung kann einerseits bereits im Kontinuumsmodell dargestellt werden, so dass die Mischung in jedem Fluidelement vorliegt, was Vorteile bei der Betrachtung großskaliger Bewegungen hat. Andererseits kann die Strömung jeder Phase getrennt beschrieben werden und die Gesamtströmung ergibt sich dann aus der Interaktion der Phasen an ihren Grenzflächen. Hier stehen kleinskalige Effekte im Vordergrund.


Nach dem Ende der DDR war es den Nachkommen nicht möglich, die Arbeit Trüpers in Jena fortzusetzen. Das Gelände fand im Wohnbau eine neue Nutzung.
[[Sickerströmung]]en durch poröse Medien sind in der [[Hydrogeologie]] und der [[Filtertechnik]] von Interesse. Die [[Oberflächenspannung]], die sonst bei Strömungen von untergeordneter Bedeutung ist, ist hier für die Bewegung bestimmend. Weil der Porenverlauf der festen Phase unbekannt ist, kommen Modelle zum Einsatz, die in die [[Richards-Gleichung]] münden.


== Konzeption und Diskussion ==
=== Lineare Stabilitätstheorie ===
Bedeutung und Potential des Trüper'schen Heilerziehungskonzepts lassen sich nur schwer eindeutig und einheitlich beurteilen. Zweifellos war es bei seiner Entstehung ein grundlegender Neuansatz im Umgang mit beeinträchtigten Kindern und stieß dementsprechend auf großes internationales Interesse. Allerdings  entwickelte es sich aus verschiedenen Gründen nach dem Tod Johannes Trüpers nicht zu einer eigenständigen Richtung weiter. Der Schwerpunkt seiner Pädagogik war stets die praktische Arbeit: Die konkrete Gesamtheit der Sophienhöhe ließ sich offenbar schwer in ein anderes Umfeld übertragen. Ein eigenes, in sich geschlossenes Theoriegebäude zu seiner Tätigkeit dort existiert gleichwohl nicht.
{{Hauptartikel|Lineare Stabilitätstheorie}}
[[Datei:Wavecloudsduval.jpg|mini|Kelvin-Helmholtz-Wirbel in der Atmosphäre hinter dem Monte Duval, Australien]]


Die historische Bedeutung Johannes Trüpers in der Pädagogik ist wissenschaftlich bislang nicht vollständig aufgearbeitet. Das Ende des Heimbetriebs stieß bei einigen Zeitzeugen auf tiefes Unverständnis; eine Weiterführung ließ sich jedoch nicht verwirklichen. Das Entwicklungspotential seiner Pädagogik für nachfolgende heutige Ansätze wird nicht zuletzt davon abhängen, wie sein Denken aus seinem ursprünglichen, konservativen, geschichtlichen Zusammenhang gelöst und mit neuen Werthaltungen und Anforderungen − etwa der [[Selbstbestimmung]] von Kindern, oder einem gewandelten Autoritätsverständnis und [[Wikipedia:Behinderung (Sozialrecht)|Behindertenbild]]− in Einklang gebracht werden kann.
Dieses Fachgebiet untersucht, inwieweit der Bewegungszustand einer Flüssigkeit stabil ist gegenüber kleinen Störungen. Betrachtet wird die Strömung an einer Grenzschicht, die zu einer Wand ([[Hydrodynamische Grenzschicht]]) oder zu einer Flüssigkeit mit anderen Eigenschaften liegen kann. Fluktuationen in dieser Grenzschicht können bei Instabilitäten zu qualitativ anderen Zuständen führen, die oftmals deutliche Strukturen aufweisen (siehe [[Kelvin-Helmholtz-Instabilität]] im Bild).


== Schriften (Auswahl) ==
=== Strömungsmesstechnik ===
* ''Zur Vereinfachung der Schrift unserer Schwachbegabten''. Langensalza 1892.
{{Hauptartikel|Strömungsmesstechnik}}
* ''Psychopathische Minderwertigkeiten im Kindesalter. Ein Mahnwort für Lehrer, Eltern und Erzieher.'' Gütersloh 1893.
[[Datei:Laser-Doppler.jpg|mini|2D-Laser-Doppler-[[Anemometer]] an einem [[Windkanal|Strömungskanal]]]]
* ''Zur pädagogischen Pathologie und Therapie.'' Langensalza 1896.
 
* ''Friedrich Wilhelm Dörpfelds Sociale Erziehung in Theorie und Praxis.'' Gütersloh 1901.
Einsatzgebiete der Strömungsmesstechnik sind die Forschung und Entwicklung, wo es gilt, Strömungsvorgänge zu untersuchen oder zu optimieren. Die Strömungsmesstechnik ist aber auch eine wesentliche Komponente für die Prozessführung in industriellen Anlagen der Chemie- oder Energiewirtschaft. Verlässliche Informationen über Eigenschaften turbulenter Strömungen können nur durch die Strömungsmesstechnik erhalten werden.
* ''Die Anfänge der abnormen Erscheinungen im kindlichen Seelenleben.'' Altenburg 1902.
 
* ''Psychopathische Minderwertigkeiten als Ursache von Gesetzesverletzungen Jugendlicher.'' Langensalza 1904.
Von besonderem Interesse sind die grundlegenden Größen Geschwindigkeit, Druck und Temperatur. Messungen können mit in die Strömung eingebrachten Messsonden aufgenommen werden. [[Staudrucksonde]]n messen im Fluid den Gesamtdruck, aus dem indirekt auf die Geschwindigkeit rückgeschlossen werden kann. Die [[Thermische Anemometrie]] stellt eine weitere indirekte Geschwindigkeitsmessmethode dar. Der Nachteil an diesen indirekten Messungmethoden ist, dass das Messsignal nicht allein von der Geschwindigkeit, sondern auch von anderen Zustandsgrößen abhängt, die also bekannt sein müssen.
* ''Zur Frage der ethischen Hygiene unter besonderer Berücksichtigung der Internate.'' Altenburg 1904.
 
* ''Wie weit reicht das Gedächtnis Erwachsener zurück?'' Langensalza 1910.
Verfahren wie die [[Particle Image Velocimetry]] und [[Laser-Doppler-Anemometrie]] (siehe Bild) gestattet die direkte und lokale Geschwindigkeitsmessung ohne Sonden. Insbesondere in der [[Aeroakustik]] interessieren nicht die Durchschnittswerte, sondern die Schwankungswerte des Drucks, insbesondere die [[spektrale Leistungsdichte]], die durch weitere [[Signalverarbeitung]] erhalten wird.
* ''Trüpers Erziehungsheim und Jugendsanatorium auf der Sophienhöhe bei Jena.'' Jena 1912.
 
* ''Eine Bankrotterklärung des Schulkasernentums.'' o. O. u. J.
=== Numerische Strömungsmechanik ===
* ''Zur Geschichte des Schulwesens.'' o. O. u. J.
{{Hauptartikel|Numerische Strömungsmechanik}}
* ''Über Dörpfelds politische und soziale Reformbestrebungen.'' o. O. u. J.
[[Datei:X-43A (Hyper - X) Mach 7 computational fluid dynamic (CFD).jpg|mini|Visualisierung einer CFD-Simulation der [[Boeing X-43]] bei [[Machzahl|Mach]]&nbsp;7]]
 
Die Leistungsfähigkeit der Computer gestattet es, die Grundgleichungen in wirklichkeitsnahen Randwertproblemen zu lösen und die erzielten, realitätsnahen Resultate haben dazu geführt, dass die numerische Strömungsmechanik ein wichtiges Werkzeug in der Strömungsmechanik wurde. In der aerodynamischen Auslegung und Optimierung haben sich die numerischen Methoden etabliert, denn sie gestatten einen detaillierten Einblick in die Strömungsvorgänge, siehe Bild, und Untersuchung von Modellvarianten.
 
Die aus der angewandten Mathematik bekannten Methoden zur Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen versehen vorbereitend das Strömungsgebiet mit einem „numerischen Gitter“. Potentialströmungen verlangen den geringsten Aufwand und auch die Euler-Gleichungen erlauben relativ grobe Gitter. Die bei Anwendung der Navier-Stokes-Gleichungen bedeutsamen Grenzschichten und Turbulenzen erfordern eine hohe räumliche Auflösung des Gitters. In drei Dimensionen steigt die Anzahl der Freiheitsgrade mit der dritten Potenz der Abmessung, so dass auch noch im 21. Jahrhundert der Aufwand für die [[Direkte Numerische Simulation]] bei Anwendungen in der Fahrzeugentwicklung nicht vertretbar ist. Daher kommen [[Turbulenzmodell]]e zum Einsatz, die die notwendige Auflösung zu reduzieren gestatten. Trotzdem sind oftmals Systeme mit mehreren zehnmillionen Gleichungen für mehrere tausend Iterations- oder Zeitschritte zu lösen, was eines [[Rechnerverbund]]s und effizienter [[Programmierung]] bedarf.
 
== Interdisziplinäre Arbeitsgebiete ==
 
=== Rheologie ===
{{Hauptartikel|Rheologie}}
Die Rheologie oder Fließkunde ist eine interdisziplinäre Wissenschaft, die sich mit dem Verformungs- und Fließverhalten von Materie beschäftigt, und berührt daher auch die Strömungsmechanik. Die ''phänomenologische Rheologie'' befasst sich mit der Formulierung von Materialmodellen, die ''Strukturrheologie'' trachtet danach, das makroskopische Materialverhalten aus der mikroskopischen Struktur der Stoffe zu erklären, und die ''Rheometrie'' stellt Messverfahren zur Bestimmung der rheologischen Eigenschaften, z.&nbsp;B. der [[Viskosität]], bereit.
 
=== Fluidenergiemaschinen ===
{{Hauptartikel|Fluidenergiemaschine}}
Eine mit dem [[Maschinenbau]] zusammen arbeitende Disziplin sucht mit Integralformen der Grundgleichungen makroskopische Größen der Strömungen abzuleiten, wie Volumenströme, Kräfte, Arbeiten und Leistungen. Diese Größen sind in Ingenieursproblemen in Fluidenergiemaschinen von besonderem Interesse. Eine der ersten Resultate auf diesem Gebiet formulierte Leonhard Euler in der nach ihm benannten [[Eulersche Turbinengleichung|Euler’schen Turbinengleichung]].
 
=== Mikrofluidik ===
{{Hauptartikel|Mikrofluidik}}
[[Datei:LLNL-microreactor.jpg|mini|Ein [[Chemischer Reaktor|chemischer Mikroreaktor]]]]
 
Die Mikrofluidik ist das Teilgebiet der [[Mikrosystemtechnik]], das die Umströmung von Objekten oder Durchströmungen von Kanälen, bei Abmessungen kleiner als ein Millimeter, untersucht, siehe Bild. Die kontinuumsmechanische Behandlung von Strömungs- und Transportprozessen auf dieser Längenskala ist in vielen Fällen nicht ohne weiteres möglich. Es werden Korrekturen an den Gleichungen oder gar [[Molekulardynamik-Simulation]]en notwendig, um die Strömungsvorgänge korrekt wiederzugeben. Prominenter Anwendungsfall ist der Druckkopf eines [[Tintenstrahldrucker]]s. Aber auch der Aufbau eines vollständigen Analyselabors auf einem [[Die (Halbleitertechnik)|Chip]] ({{enS|[[Lab-on-a-chip]]}} für „Labor auf einem Chip“ oder ''micro-total-analysis system'' für „Mikro-vollständiges-Analyse-System“) erfordert die Kenntnis der Strömungs- und Transportprozesse auf der Mikroskala.<ref>{{Literatur |Autor=Nam-Trung Nguyen |Titel=Mikrofluidik. Entwurf, Herstellung und Charakterisierung |Verlag=Vieweg+Teubner Verlag |Datum=2004 |ISBN=978-3-519-00466-0}}</ref>
 
=== Bioströmungsmechanik ===
Die Bioströmungsmechanik befasst sich mit der Innen- und Umströmung von belebten Körpern, deren charakteristisches Merkmal unter anderem ist, von flexiblen und strukturierten Oberflächen berandet zu sein. Es wird die Fortbewegung von Einzellern, Kaulquappen und Fischen bis hin zu Walen im Wasser untersucht. Bei der Fortbewegung durch die Luft wird insbesondere der Vogelflug ergründet. Der Wärme- und Stofftransport in Lebewesen bei der Atmung, im Blut- und Lymphkreislauf und der Wasserkreislauf sind auch in der Medizin von Interesse.<ref>{{Literatur |Autor=H. Oertel |Titel=Bioströmungsmechanik. Grundlagen, Methoden und Phänomene |Auflage=2. |Verlag=Vieweg+Teubner |Datum=2012 |ISBN=978-3-8348-1765-5}}</ref>
 
=== Magnetohydrodynamik ===
{{Hauptartikel| Magnetohydrodynamik}}
Die Magnetohydrodynamik (MHD) berücksichtigt die elektrischen und magnetischen Eigenschaften von Flüssigkeiten, Gasen und [[Plasma (Physik)|Plasmen]] und untersucht zusätzlich die Bewegung unter Wirkung der vom Medium selbst erzeugten Felder und die Bewegung in äußeren Feldern. Die Bewegungsgleichungen sind die um elektrodynamische Kräfte erweiterten Euler-Gleichungen, deren Lösung sehr kompliziert werden kann. Durch weitere Annahmen können die Gleichungen jedoch vereinfacht werden, um ihre Lösung zu erleichtern. Die Annahme, dass die elektrische Leitfähigkeit des Plasmas unendlich groß ist, es daher also keinen elektrischen Widerstand besitzt, führt auf die „Ideale MHD“ im Gegensatz zur „resistiven MHD“ mit endlicher Leitfähigkeit. Typische Anwendungsgebiete der Magnetohydrodynamik sind die Strömungsbeeinflussung und die Strömungsmessung in [[Metallurgie]] und [[Halbleiter]]-[[Einkristall]]<nowiki />züchtung sowie die Beschreibung von Plasmen in [[Atmosphäre (Astronomie)|stellaren Atmosphären]] und [[Fusionsreaktor]]en.<ref>{{Literatur |Autor=Peter A. Davidson |Titel=An introduction to magnetohydrodynamics |Verlag=Cambridge Univ. Press |Ort=Cambridge |Datum=2006 |ISBN=978-0-521-79487-9}}</ref>
 
== Kontinuumsmechanische Grundlagen ==
Strömungen können aus den Augen der [[Statistische Mechanik|statistischen Mechanik]] als Partikelströme oder als [[Kontinuumsströmung]]en betrachtet werden. Letzterer Ansatz kommt aus der [[Kontinuumsmechanik]],<ref>{{Literatur |Autor=Peter Haupt |Titel=Continuum Mechanics and Theory of Materials |Verlag=Springer |Datum=2002 |ISBN=3-540-43111-X}}</ref> in der vom molekularen Aufbau der Fluide abgesehen wird und sie als Kontinuum angenähert werden, in dem die physikalischen Eigenschaften kontinuierlich über den Raum verschmiert sind. Dieser phänomenologische Ansatz erlaubt effizient realitätsnahe Vorhersagen zu formulieren. Die für die Strömungsmechanik relevanten kinematischen, physikalischen und konstitutiven kontinuumsmechanischen Gleichungen werden im Folgenden zusammengefasst.
 
=== Kinematik ===
Die Strömungsmechanik benutzt die [[eulersche Betrachtungsweise]], die die an einem festen Raumpunkt vorhandenen physikalischen Größen untersucht. Weil sich die physikalischen Gesetze auf materielle Punkte (hier: Fluidelemente) und nicht auf Raumpunkte beziehen, muss bei der Zeitableitung die [[substantielle Ableitung]] benutzt werden. Diese besteht aus einem lokalen und einem konvektiven Anteil:
 
: <math>\dot f
:=\frac{\mathrm{D}f}{\mathrm{D}t}
:=\frac{\partial f}{\partial t}+\operatorname{grad}(f)\cdot\vec v
=\frac{\partial f}{\partial t}+(\vec{v}\cdot\nabla)f
\,.</math>
 
Das vom Fluid transportierte Feld f kann [[Skalar (Mathematik)|skalar-]] oder [[vektor]]wertig sein und hängt wie die Geschwindigkeit vom Ort und der Zeit ab. Die [[partielle Ableitung]] <math>\tfrac{\partial f}{\partial t}</math> ist die ''lokale Ableitung'', d.&nbsp;h. die an einem festen Raumpunkt zu beobachtende Änderungsgeschwindigkeit, und der zweite Term mit dem [[Gradient (Mathematik)|Gradienten]] grad oder dem [[Nabla-Operator]] <math>\nabla</math> ist der ''konvektive Anteil''. Im Fall einer vektoriellen Größe <math>\vec f</math> wird in der Strömungsmechanik die Schreibweise mit dem [[Gradient (Mathematik)#Vektorgradient|Vektorgradient]] <math>(\vec{v}\cdot\nabla)\vec{f}</math> bevorzugt.
 
In der Strömungsmechanik ist die Geschwindigkeit <math>\vec v</math> die primäre Unbekannte und ihr Gradient, der [[Geschwindigkeitsgradient]]
 
: <math>\mathbf{l}:=\operatorname{grad}\vec v
=\begin{pmatrix}
\frac{\partial v_x}{\partial x}& \frac{\partial v_x}{\partial y}& \frac{\partial v_x}{\partial z}
\\
\frac{\partial v_y}{\partial x}& \frac{\partial v_y}{\partial y}& \frac{\partial v_y}{\partial z}
\\
\frac{\partial v_z}{\partial x}& \frac{\partial v_z}{\partial y}& \frac{\partial v_z}{\partial z}
\end{pmatrix}
</math>
 
ist eine zentrale Größe bei der Beschreibung von Strömungsvorgängen. Die Geschwindigkeitskomponenten <math>v_{x,y,z}</math> beziehen sich auf ein [[kartesisches Koordinatensystem]] mit x-, y- und z-Koordinaten. Für ein Fluidelement mit (infinitesimal) kleinem Volumen dv ergibt sich die Volumenänderungsgeschwindigkeit
 
:<math>\frac{\mathrm{D}}{\mathrm{D}t}(\mathrm{d}v)
=\operatorname{Sp}(\mathbf{l})\,\mathrm{d}v
\,.</math>
 
Die [[Spur (Mathematik)|Spur]] Sp des Geschwindigkeitsgradienten ist somit ein Maß für die Volumenänderungsgeschwindigkeit, die auf Grund der Massenbilanz unten mit einer Dichteänderung einher geht. Die Spur ist gleich der [[Divergenz eines Vektorfeldes|Divergenz]] div des [[Geschwindigkeitsfeld]]es: <math>\operatorname{Sp}(\mathbf{l})=\operatorname{div}(\vec v)\,.</math> Der Geschwindigkeitsgradient kann additiv in einen [[Symmetrische Matrix|symmetrischen]] Anteil '''d''' und einen [[Schiefsymmetrische Matrix|schiefsymmetrischen]] Anteil '''w''' zerlegt werden:
 
: <math>
\mathbf{l}=\mathbf{d+w}
\quad\text{mit}\quad
\mathbf{d}:=\frac{1}{2}(\mathbf{l+l}^\top)
\quad\text{und}\quad
\mathbf{w}:=\frac{1}{2}(\mathbf{l-l}^\top)\,.
</math>
 
Das Superskript <math>\top</math> bezeichnet die [[Transponierte Matrix|Transposition]]. Der symmetrische Anteil '''d''' ist der [[Geschwindigkeitsgradient#Dehn- und Schergeschwindigkeiten|Verzerrungsgeschwindigkeitstensor]], mit dem sich mit
 
:<math>\dot{\varepsilon}_{1}:=\hat{e}_1\cdot\mathbf{d}\cdot\hat{e}_1
\quad\text{und}\quad
\dot{\gamma}_{12}:=2\hat{e}_1\cdot\mathbf{d}\cdot\hat{e}_2
</math>
 
die Dehnungsgeschwindigkeit <math>\dot{\varepsilon}_{1}</math> in <math>\hat{e}_1</math>-Richtung und die [[Schergeschwindigkeit]] <math>\dot{\gamma}_{12}</math> in der 1-2-Ebene berechnet, die von zueinander senkrechten Einheitsvektoren (mit der Länge eins) <math>\hat{e}_{1,2}</math> aufgespannt wird. Der schiefsymmetrische Anteil '''w''' ist der ''Wirbeltensor'', dem über
 
: <math>\mathbf{w}\cdot\vec u =: \vec\Omega\times\vec u \quad\forall\vec u</math>
 
ein Vektor <math>\vec\Omega</math> zugeordnet werden kann, der im Fall des Wirbeltensors ''[[Winkelgeschwindigkeit]]'' genannt wird und die Drehgeschwindigkeit der Fluidelemente um sich selbst angibt. Nach obiger Definition berechnet sich
 
:<math>\vec\Omega=\frac{1}{2}\operatorname{rot}\vec v\,.</math>
 
Die [[Rotation (Mathematik)|Rotation]] rot des Geschwindigkeitsfeldes wird als ''[[Wirbelstärke]]'' oder ''Wirbelvektor'' bezeichnet:
 
:<math>\vec\omega:=\operatorname{rot}\vec v=2\vec\Omega\,.</math>
 
Gelegentlich wird auch <math>\vec\omega=\tfrac{1}{2}\operatorname{rot}\vec v</math> definiert, was keinen wesentlichen Unterschied ausmacht.
 
=== Naturgesetze ===
Die [[Kontinuumsmechanik]] formuliert die folgenden, an jedem Fluidelement geltenden Naturgesetze:
 
# Massenbilanz: <math>\frac{\partial}{\partial t}\rho +\operatorname{div}(\rho \vec{v})
= \frac{\partial \rho}{\partial t} + \operatorname{grad}(\rho)\cdot \vec{v}
+ \rho\,\operatorname{div}(\vec{v})
= \dot{\rho} + \rho \operatorname{div}(\vec{v})
=0</math>
# Impulsbilanz: <math>\rho\dot{\vec v}
=\rho\left[\frac{\partial}{\partial t}\vec{v}+\operatorname{grad}(\vec{v})\cdot\vec{v}\right]
=\rho\left[\frac{\partial}{\partial t}\vec{v}+(\vec{v}\cdot\nabla)\vec{v}\right]
=\rho\,\vec{k}+\operatorname{div}(\boldsymbol{\sigma})
\,,</math> und
# Energiebilanz: <math>\dot{u}=\frac{1}{\rho}\boldsymbol{\sigma}:\mathbf{d}
-\frac{1}{\rho}\operatorname{div}\;\vec{q}+r\,.</math>
 
Darin sind ρ die [[Dichte]], <math>\vec{k}</math> eine Schwerebeschleunigung, <math>\boldsymbol{\sigma}</math> der Cauchy’sche [[Spannungstensor]], u die [[innere Energie]], <math>\vec{q}</math> der Wärmestrom, <math>r</math> innere Wärmequellen z.&nbsp;B. aus Phasenübergängen, „<math>\cdot</math>“ das [[Frobenius-Skalarprodukt]] von Vektoren und „:“ dasjenige von Tensoren. Die Drehimpulsbilanz reduziert sich auf die Forderung nach der Symmetrie des Spannungstensors <math>(\boldsymbol{\sigma}=\boldsymbol{\sigma}^\top)\,.</math>
 
=== Materialmodelle ===
Abgeschlossen wird das System aus kinematischen und Bilanzgleichungen durch ein [[Materialmodell]] des Fluids, das den Spannungstensor in Abhängigkeit von dem Verzerrungsgeschwindigkeitstensor, der Dichte oder weiteren Konstitutivvariablen spezifiziert. Das Materialmodell der klassischen Materialtheorie für das linear viskose oder [[Newtonsches Fluid|newtonsche Fluid]]
 
:<math>\boldsymbol{\sigma}
=-p(\rho)\mathbf{I}+2\mu \mathbf{d}+\lambda \operatorname{Sp}(\mathbf{d})\mathbf{I}
</math>
 
ist das, in der Strömungsmechanik hauptsächlich benutzte Materialmodell. Darin sind p der im Allgemeinen von der Dichte ρ abhängige Druck, λ und μ die ersten und zweiten [[Lame-Konstanten#Strömungslehre|Lamé-Konstanten]] und '''I''' der [[Einheitstensor]]. Der Verzerrungsgeschwindigkeitstensor ist im Allgemeinen voll besetzt und dann treten geschwindigkeitsabhängige Schubspannungen auf, die sich makroskopisch als Viskosität bemerkbar machen. In Kombination mit der Impulsbilanz liefert dieses Modell die [[Navier-Stokes-Gleichungen]]. Weil der Druck, die Dichte und der Verzerrungsgeschwindigkeitstensor objektiv sind (siehe [[Euklidische Transformation]]), sind die Navier-Stokes-Gleichungen invariant gegenüber einem [[Bezugssystem#Wechsel des Bezugssystems|Wechsel des Bezugssystems]].
 
Im wichtigen Sonderfall der [[Inkompressibilität]], die bei Strömungsgeschwindigkeiten weit unterhalb der [[Schallgeschwindigkeit|Wellenausbreitungsgeschwindigkeit]] im Fluid in guter Näherung angenommen werden kann, vereinfacht sich diese Gleichung zu
 
:<math>\boldsymbol{\sigma}=-p\mathbf{I}+2\mu \mathbf{d}</math>
 
und der Druck p ergibt sich nicht mehr aus einer konstitutiven Beziehung, sondern allein aus den Randbedingungen und der Impulsbilanz. Bei großen Reynoldszahlen oder abseits von Grenzschichten können die viskosen Anteile vernachlässigt werden:
 
:<math>\boldsymbol{\sigma}=-p(\rho)\mathbf{I}\,.</math>
 
Ein Fluid mit diesem Spannungstensor gehorcht den [[Euler-Gleichungen (Strömungsmechanik)|Euler-Gleichungen der Strömungsmechanik]]. Wenn hier die Dichte eine [[Bijektivität|eineindeutige Funktion]] des Drucks ist, dann ist das Fluid [[Cauchy-Elastizität#Elastische Fluide|Cauchy-elastisch]] und konservativ, Kompressionsarbeit in ihm jedenfalls reversibel.
 
Neben diesen klassischen Materialmodellen betrachtet die Strömungsmechanik auch jedes andere fließende Material, unter anderem [[Plasma (Physik)|Plasma]], nicht-newtonsche Fluide oder [[Duktilität|duktile]] Materialien bei großen Verformungen, wo die [[Elastizität (Physik)|elastische]] Deformation gegenüber der [[Plastizitätstheorie|plastischen]] vernachlässigt werden kann.
 
== Siehe auch ==
* {{WikipediaDE|Kategorie:Strömungsmechanik}}
* {{WikipediaDE|Strömungsmechanik}}


== Literatur ==
== Literatur ==
* [[Wikipedia:Manfred Berger (Pädagoge)|Manfred Berger]], [[Wikipedia:Jörg W. Ziegenspeck|Jörg W. Ziegenspeck]] (Vorwort): ''Johannes Trüper. Ein Wegbereiter der modernen Erlebnispädagogik''. Edition Erlebnispädagogik, Lüneburg 1998, ISBN 3-89569-037-6.
* {{Literatur
* Christel Bettermann, Alexandra Schotte: ''„Heraus aus den Schulstuben, fort von den schlafraubenden Hausaufgaben, in die freie Natur“. Das Lebenswerk von Johannes Trüper: die Sophienhöhe bei Jena''. (= Dokumentation der Städtischen Museen Jena. Band 10). Städtische Museen Jena, Jena 2002, ISBN 3-930128-51-9.
  |Hrsg=H. Oertel
* [[Wikipedia:August Henze|August Henze]]: ''Trüper, Johann.'' In: [[Wikipedia:Adolf Dannemann|Adolf Dannemann]] u. a. (Hrsg.).: ''Enzyklopädisches Lexikon der Heilpädagogik.'' Halle an der Saale BD. II, Sp 2946–2948.
  |Titel=Prandtl-Führer durch die Strömungslehre. Grundlagen und Phänomene
* Horst-Heinz Richter: ''Johannes Trüper und seine Sophienhöhe in Jena''. Bussert und Stadeler, Quedlinburg/ Jena 2003, ISBN 3-932906-40-3.
  |Auflage=13.
* Karel Zimmermann: ''Johannes Trüper. Ein Heilpädagoge zwischen Pädagogik und Kinder- und Jugendpsychiatrie''. Dissertation. Universität Köln, 2005,(http://d-nb.info/978391233/34 PDF; 6,5 MB).
  |Verlag=Springer Vieweg
* Alexandra Schotte: ''Heilpädagogik als Sozialpädagogik. Johannes Trüper und die Sophienhöhe bei Jena''. Dissertation. Universität Jena 2010. IKS Garamond, Jena 2010, ISBN 978-3-941854-11-6.
  |Datum=2012
* Helmut und Irmela Trüper: ''Ursprünge der Heilpädagogik in Deutschland. Johannes Trüper: Leben und Werk ''. Konzepte der Humanwissenschaften, Angewandte Wissenschaft. Klett-Cotta, Stuttgart 1978, ISBN 3-12-928200-9.
  |ISBN=978-3-8348-1918-5}}
* Uwe-Jens Gerhard, Anke Schönberg: ''Johannes Trüper – Die Entstehung der Kinder- und Jugendpsychiatrie in Jena unter dem Einfluss und in Wechselwirkung mit der Pädagogik.'' In: Rolf Castell (Hrsg.): ''Hundert Jahre Kinder- und Jugendpsychiatrie : Biografien und Autobiografien.'' V & R Unipress, Göttingen 2008, ISBN 978-3-89971-509-5, S. 17–44.
* {{Literatur
  |Autor=F. Durst
  |Titel=Grundlagen der Strömungsmechanik
  |Verlag=Springer
  |Datum=2006
  |ISBN=3-540-31323-0}}
* {{Literatur
  |Autor=G. Bollrich
  |Titel=Technische Hydromechanik 1. Grundlagen
  |Verlag=Verlag Bauwesen
  |Datum=2007
  |ISBN=3-345-00912-9}}
* {{Literatur
  |Autor=A. Dillmann, K. Wieghardt
  |Titel=Theoretische Strömungslehre
  |Verlag=Universitätsverlag Göttingen
  |Datum=2005
  |ISBN=3-938616-33-4}}
* {{Literatur
  |Autor=George Keith Batchelor
  |Titel=An Introduction to Fluid Dynamics
  |Verlag=Cambridge University Press
  |Datum=1967
  |ISBN=0-521-04118-X}}
* {{Literatur
  |Autor=P. K. Kundu
  |Titel=Fluid Mechanics
  |Verlag=Academic Press
  |Datum=2015
  |ISBN=978-0-12-405935-1}}
* {{Literatur
  |Autor=Wolfgang Schröder
  |Titel=Fluidmechanik
  |Verlag=Wissenschaftsverlag Mainz in Aachen
  |Ort=Aachen
  |Datum=2004
  |ISBN=3-86130-371-X}}
* {{Literatur
  |Autor=Jann Strybny
  |Titel=Ohne Panik Strömungsmechanik
  |Auflage=2.
  |Verlag=Vieweg
  |Datum=2005
  |ISBN=3-528-13194-2}}


== Weblinks ==
== Weblinks ==
* {{DNB-Portal|118624199}}
{{Commonscat|Fluid mechanics|Strömungsmechanik}}
* Biografie [http://www.uni-jena.de/unijenamedia/Downloads/faculties/fsv/institut_erzwi/ls_sozpaed/herbar/Trueper.pdf Uni Jena] (PDF; 51&nbsp;kB)
{{Wiktionary|Strömung}}
* S. Schaper u. a.: [http://www.efb-stupa.de/service/handouts/sonpaed_2006-05-22_a.pdf ''Johannes Trüper. Ursprünge der Heilpädagogik.''] Referat. (PDF-Datei; 187&nbsp;kB)
{{Wikibooks|Mechanik flüssiger und gasförmiger Körper}}
* Manfred Berger: [http://archiv-heilpaedagogik.de/down/Medien/Kurzbiographien-Berger/Trueper,%20Johannes.pdf ''Johannes Trüper - sein Leben und Wirken.''] In: ''Zeitschrift für Erlebnispädagogik.'' 1999.


== Einzelnachweise ==
== Einzelnachweise ==
<references />
<references />


{{Normdaten|TYP=p|GND=118624199|VIAF=10638925}}
{{Normdaten|TYP=s|GND=4077970-1}}
 
{{SORTIERUNG:Truper, Johannes}}
[[Kategorie:Pädagoge]]
[[Kategorie:Heilpädagoge]]
[[Kategorie:Deutscher]]
[[Kategorie:Geboren 1855]]
[[Kategorie:Gestorben 1921]]
[[Kategorie:Mann]]


{{Wikipedia}}
{{SORTIERUNG:Stromungsmechanik}}
[[Kategorie:Strömungsmechanik|!]]

Version vom 11. Juli 2020, 00:40 Uhr

Die Strömungsmechanik, Fluidmechanik oder Strömungslehre ist die Wissenschaft vom physikalischen Verhalten von Fluiden. Die in der Strömungsmechanik gewonnenen Kenntnisse sind Gesetzmäßigkeiten in Strömungsvorgängen und dienen der Lösung von Strömungsproblemen in der Auslegung von durch- bzw. umströmten Bauteilen sowie der Überwachung von Strömungen. Angewendet wird sie unter anderem im Maschinenbau, Chemieingenieurwesen, der Wasser- und Energiewirtschaft, Meteorologie, Astrophysik und der Medizin. Ihre Grundlagen findet sie in der Kontinuumsmechanik und Thermodynamik, also der klassischen Physik.

Historische Entwicklung

Die Strömungsmechanik beruht auf der Kontinuumsmechanik, Physik und Differentialrechnung, deren jeweiliger historischer Werdegang dort nachgeschlagen werden kann. An dieser Stelle soll die spezifisch strömungsmechanische Entwicklung skizziert werden.

Archimedes (287–212 v. Chr.) befasste sich mit strömungsmechanischen Fragestellungen (Archimedisches Prinzip, Archimedische Schraube). Sextus Iulius Frontinus (ca. 35–103 n. Chr.) dokumentierte seine Kenntnisse über die Wasserversorgung in der Antike, über tausend Jahre bevor sich Leonardo da Vinci (1452–1519) mit Strömungsvorgängen auseinandersetzte.

Galileo Galilei (1564–1642) gab Impulse in der experimentellen Hydrodynamik und überarbeitete das von Aristoteles eingeführte Konzept des Vakuums. Evangelista Torricelli (1608–1647) erkannte im Gewicht der Erdatmosphäre die Ursache des Luftdrucks und verband den horizontal ausgestoßenen Flüssigkeitsstrahl mit den Gesetzen des freien Falls (Torricelli’sches Ausflussgesetz). Blaise Pascal (1623–1662) beschäftigte sich unter anderem mit der Hydrostatik und formulierte den Satz von der allseitigen Druckfortpflanzung. Edme Mariotte (1620–1684) lieferte Beiträge zu Problemen der Flüssigkeiten und Gase und stellte dabei erste Konstitutivgesetze auf. Henri de Pitot (1695–1771) untersuchte den Staudruck in Strömungen.

Isaac Newton veröffentlichte 1686 seine dreibändige Principia mit den Bewegungsgesetzen und definierte zudem im zweiten Buch die Viskosität einer idealen (newtonschen) Flüssigkeit. Daniel Bernoulli (1700–1782) begründete die Hydromechanik, indem er Druck und Geschwindigkeit in der nach ihm benannten Energiegleichung verband und Leonhard Euler (1707–1783) formulierte die Bewegungsgleichungen für ideale Flüssigkeiten. Von nun an konnten Erkenntnisse auch durch Untersuchungen der mathematischen Gleichungen gewonnen werden. Jean-Baptiste le Rond d’Alembert (1717–1783) führte die eulersche Betrachtungsweise und komplexe Zahlen in der Potentialtheorie ein, leitete die lokale Massenbilanz her und formulierte das d’Alembert’sche Paradoxon, demgemäß von der Strömung idealer Flüssigkeiten auf einen Körper keine Kraft in Richtung der Strömung ausgeübt wird (was Euler schon vorher bewies). Wegen dieser und anderer Paradoxien reibungsfreier Strömungen war klar, dass die Euler’schen Bewegungsgleichungen zu ergänzen sind.

Claude Louis Marie Henri Navier (1785–1836) und George Gabriel Stokes (1819–1903) erweiterten die Euler’schen Bewegungsgleichungen um viskose Terme zu den Navier-Stokes-Gleichungen, die Strömungen realitätsnah modellieren. Giovanni Battista Venturi (1746–1822), Gotthilf Heinrich Ludwig Hagen (1797–1884) und Jean Léonard Marie Poiseuille (1799–1869) führten experimentelle Untersuchungen in Strömungen durch. William Froude (1810–1879) ermittelte den Schwimmwiderstand von Schiffen, Ernst Mach (1838–1916) leistete Pionierarbeit in der Überschallaerodynamik, Lord Rayleigh (1842–1919) untersuchte hydrodynamische Instabilitäten und Vincent Strouhal (1850–1922) erforschte die Schwingungsanregungen durch ablösende Wirbel. Hermann von Helmholtz (1821–1894) formulierte die nach ihm benannten Wirbelsätze und begründete durch mathematisch ausgearbeitete Untersuchungen über Wirbelstürme und Gewitter die wissenschaftliche Meteorologie. Weitere bahnbrechende Arbeiten wurden von Osborne Reynolds (1832–1912, Reynolds-Gleichungen, Reynoldszahl) und Ludwig Prandtl (1875–1953, unter anderem zur hydrodynamischen Grenzschicht) vorgelegt.

Andrei Nikolajewitsch Kolmogorow (1903–1987) erweiterte die Theorie der turbulenten Strömung. Ab Mitte des 20. Jahrhunderts entwickelten sich die Strömungsmesstechnik und numerische Strömungsmechanik so weit, dass mit ihrer Hilfe Lösungen für praktische Probleme gefunden werden können.[1]

Methodik

Gegenstand der Strömungsmechanik sind die Bewegungen von Fluiden, ruhenden, fließenden oder strömenden Medien. Die Suche nach Gesetzmäßigkeiten von Bewegungen und Lösungen für Strömungsprobleme bedient sich dreierlei Methoden:

Analytische Methoden
Gesetzmäßigkeiten werden in Form von Gleichungen formuliert, die mit Hilfe der angewandten Mathematik behandelt werden können.
Experimentelle Methoden
Die Phänomenologie der Strömungsvorgänge wird erkundet mit dem Ziel Gesetzmäßigkeiten herauszufinden.
Numerische Methoden
Durch einen detaillierten Einblick auch in komplizierte und kurzzeitige Strömungsvorgänge unterstützen und ergänzen die Berechnungen die analytischen und experimentellen Methoden.

Die Komplexität des Gegenstandes macht die kombinierte Nutzung aller drei Methoden für die Lösung praktischer Strömungsprobleme notwendig.

Teilgebiete

Fluidstatik

Hydrostatisches Paradoxon: Der Flüssigkeitsdruck am Boden (rot) ist in allen drei Gefäßen identisch.

Die Fluidstatik betrachtet ruhende Fluide, wobei die Hydrostatik Inkompressibilität voraussetzt, die Wasser in guter Näherung aufweist. Hier interessiert die Druckverteilung in ruhenden Flüssigkeiten und die daraus resultierenden Kräfte auf Behälterwände, siehe Bild. Schwimmende Körper erfahren einen statischen Auftrieb und es interessiert die Frage, unter welchen Voraussetzungen die Schwimmstabilität des Körpers gegeben ist. Thermische Effekte sind hier von untergeordneter Bedeutung.

Die Aerostatik betrachtet die Gesetzmäßigkeiten in ruhender Atmosphäre oder Erdatmosphäre und hier sind Dichteänderungen und thermische Effekte ausschlaggebend. Betrachtet wird beispielsweise die Atmosphärenschichtung und die Druck- und Temperaturverteilung über die Höhe in der Erdatmosphäre.

Ähnlichkeitstheorie

Windkanal der NASA mit dem Modell einer MD-11

Die Ähnlichkeitstheorie beschäftigt sich damit, aus einem bekannten und zugänglichen (Modell)-System Rückschlüsse auf ein interessierendes aber experimentell unzugängliches (Real)-System zu bilden, das z. B. größer oder kleiner, schneller oder langsamer oder sich in anderen Dimensionen nur quantitativ vom Modellsystem unterscheidet, siehe Bild. Kinematisch ähnlich sind zwei Strömungen, wenn sie ähnliche räumliche Bewegungen ausführen. Voraussetzung hierfür ist, dass ähnliche Randbedingungen vorliegen (geometrische Ähnlichkeit) und auf die Fluidelemente ähnliche Kräfte wirken, was dynamische Ähnlichkeit bedeutet. Die Ähnlichkeitsbetrachtungen werden auch auf Wärmetransportprobleme bei thermischer Ähnlichkeit angewendet. Begründet wurde die Ähnlichkeitstheorie 1883 von Osborne Reynolds in Form des Reynolds’schen Ähnlichkeitsgesetzes, das besagt, dass die Strömungen am Original und am Modell mechanisch ähnlich verlaufen, wenn die Reynolds-Zahlen übereinstimmen.

Stromfadentheorie

Die Stromfadentheorie betrachtet Strömungen entlang einer von Stromlinien gebildeten, (infinitesimal) dünnen Stromröhre, in der die Zustandsgrößen Geschwindigkeit, Druck, Dichte und Temperatur als über den Querschnitt des Stromfadens konstant angenommen werden können. Auf diese Volumina können die Integralformen der Grundgleichungen angewendet werden, um so weitere Lösungen von Strömungsproblemen zu erarbeiten. Ein stationäres Strömungsgebiet besteht aus Stromfäden, so dass es gelingt die globalen Eigenschaften der Strömung mit den Eigenschaften der Stromfäden zu beschreiben. Prominenter Anwendungsfall ist die Strömung durch Röhren und Düsen. Die Gesamtheit der eindimensionalen Strömungen von Wasser werden unter dem Sammelnamen Hydraulik zusammengefasst.[2] Die Fluidtechnik und Fluidik wenden die Hydraulik und Pneumatik an, um Energie zu übertragen oder Signale zu verarbeiten.

Potentialströmungen

Stromlinien um ein Flügelprofil

In Potentialströmungen ergibt sich das Geschwindigkeitsfeld aus der Ableitung eines Geschwindigkeitspotentials, weshalb solche Strömungen grundsätzlich reibungs- und rotationsfrei sind. Eine laminare Strömung bei niedrigen Reynolds-Zahlen folgt in guter Näherung einer Potentialströmung, wenn die fluiddynamische Grenzschicht an den Rändern der Strömung keine wesentliche Rolle spielt. Die Potentialtheorie findet Anwendung in der Auslegung und im Design von Flugzeugen. Potentialströmungen sind relativ einfach zu berechnen und erlauben analytische Lösungen für viele Strömungsprobleme.

Eine andere Idealisierung, die Rotation erlaubt, aber nur inkompressible Medien betrachtet, gestattet die Einführung einer Stromfunktion. Diese ist allerdings nur in ebenen oder als Stokessche Stromfunktion in drei dimensionalen, axialsymmetrischen Fällen anwendbar. Die Höhenlinien der Stromfunktionen sind Stromlinien.

In ebenen, dichtebeständigen und rotationsfreien Strömungen kann das Geschwindigkeitsfeld mit komplexen Funktionen ausgedrückt und somit deren weitreichenden Eigenschaften ausgenutzt werden. Mit Hilfe dieser Theorie konnten Anfang des 20. Jahrhunderts erste auftriebserzeugende Flügelprofile entwickelt werden, siehe Bild.

Gasdynamik

Der Gegenstand der Gasdynamik sind schnelle Strömungen dichteveränderlicher Fluide, die bei Flugzeugen und in Düsen vorkommen. Diese Strömungen werden durch die Mach-Zahl M charakterisiert. Kompressibilität wird erst ab Machzahlen größer 0,2 bedeutsam, so dass dann hohe Reynolds-Zahlen vorliegen und Viskositätsterme und Gravitionskräfte vernachlässigbar sind. Die Strömungen sind auch schneller als der Wärmetransport, weswegen adiabatische Zustandsänderungen angenommen werden können. Die Gesetzmäßigkeiten werden mit der Stromfaden- und Ähnlichkeitstheorie abgeleitet. Ein besonderes Phänomen, das hier auftreten kann, ist die Stoßwelle und der Verdichtungsstoß, dessen bekanntester Vertreter die Schallmauer ist.

Fluiddynamik

Stokes’sche Welle mit Bahnlinien (türkis) einiger Wasserteilchen

Die Fluiddynamik ist das Teilgebiet, das sich mit bewegten Fluiden beschäftigt. Analytische Lösungen können hier nur durch Beschränkung auf eine oder zwei Dimensionen, auf Inkompressibilität, einfache Randbedingungen und auf kleine Reynolds-Zahlen erreicht werden, wo die Beschleunigungsterme gegenüber den Viskositätstermen vernachlässigt werden können. Zwar sind solche Lösungen praktisch wenig relevant, vertiefen jedoch trotzdem das Verständnis von Strömungsvorgängen.

Bei kleinen Reynoldszahlen vermag die Viskosität des Fluids kleine Fluktuationen der Strömungsvariablen zu dämpfen, so dass eine eventuell auch zeitabhängige, laminare Strömung dann stabil gegenüber kleinen Störungen ist. Mit zunehmender Reynolds-Zahl wird dieser Dämpfungsmechanismus überfordert und die laminare Strömung geht in eine irreguläre turbulente Strömung über. Die Turbulenzforschung erreicht Einsichten über solche Strömungen durch statistische Betrachtungen.

Bei großen Reynoldszahlen sind umgekehrt die Viskositätsterme gegenüber den Beschleunigungstermen klein und der Einfluss der Randbedingungen auf die Strömung ist auf wandnahe Bereiche beschränkt. Mit diesen beschäftigt sich die von Ludwig Prandtl begründete Grenzschichttheorie.

Die Aerodynamik untersucht das Verhalten von Körpern in kompressiblen Fluiden (zum Beispiel Luft) und ermittelt Kräfte und Momente, die auf umströmte Körper wirken. Zur Aerodynamik gehört die Vorhersage der Windkräfte auf Gebäude, Kraftfahrzeuge und Schiffe.

Das Wissensgebiet um die Wellenbewegungen in Fluiden befasst sich mit zeitlichen und räumlichen Bewegungen eines Fluids um eine mittlere Ruhelage. Die Aeroakustik beschäftigt sich mit den Gesetzmäßigkeiten solcher Wellen – Schallwellen – in der Luft. Die Hydromechanik unterscheidet u. a. die Schwerewellen, die höheren Stokes-Wellen, siehe Bild, die kleinen Kapillarwellen und die aperiodischen Solitonen. In der Fluiddynamik werden die Ursachen, Eigenschaften und die Grundgleichungen dieser Wellenbewegungen untersucht.

Mehrphasenströmungen mit festen, flüssigen und/oder gasförmigen Anteilen sind die in der Natur und Technik am häufigsten auftretenden Strömungsformen und bekommen dadurch eine besondere Relevanz. Die Mischung kann einerseits bereits im Kontinuumsmodell dargestellt werden, so dass die Mischung in jedem Fluidelement vorliegt, was Vorteile bei der Betrachtung großskaliger Bewegungen hat. Andererseits kann die Strömung jeder Phase getrennt beschrieben werden und die Gesamtströmung ergibt sich dann aus der Interaktion der Phasen an ihren Grenzflächen. Hier stehen kleinskalige Effekte im Vordergrund.

Sickerströmungen durch poröse Medien sind in der Hydrogeologie und der Filtertechnik von Interesse. Die Oberflächenspannung, die sonst bei Strömungen von untergeordneter Bedeutung ist, ist hier für die Bewegung bestimmend. Weil der Porenverlauf der festen Phase unbekannt ist, kommen Modelle zum Einsatz, die in die Richards-Gleichung münden.

Lineare Stabilitätstheorie

Kelvin-Helmholtz-Wirbel in der Atmosphäre hinter dem Monte Duval, Australien

Dieses Fachgebiet untersucht, inwieweit der Bewegungszustand einer Flüssigkeit stabil ist gegenüber kleinen Störungen. Betrachtet wird die Strömung an einer Grenzschicht, die zu einer Wand (Hydrodynamische Grenzschicht) oder zu einer Flüssigkeit mit anderen Eigenschaften liegen kann. Fluktuationen in dieser Grenzschicht können bei Instabilitäten zu qualitativ anderen Zuständen führen, die oftmals deutliche Strukturen aufweisen (siehe Kelvin-Helmholtz-Instabilität im Bild).

Strömungsmesstechnik

2D-Laser-Doppler-Anemometer an einem Strömungskanal

Einsatzgebiete der Strömungsmesstechnik sind die Forschung und Entwicklung, wo es gilt, Strömungsvorgänge zu untersuchen oder zu optimieren. Die Strömungsmesstechnik ist aber auch eine wesentliche Komponente für die Prozessführung in industriellen Anlagen der Chemie- oder Energiewirtschaft. Verlässliche Informationen über Eigenschaften turbulenter Strömungen können nur durch die Strömungsmesstechnik erhalten werden.

Von besonderem Interesse sind die grundlegenden Größen Geschwindigkeit, Druck und Temperatur. Messungen können mit in die Strömung eingebrachten Messsonden aufgenommen werden. Staudrucksonden messen im Fluid den Gesamtdruck, aus dem indirekt auf die Geschwindigkeit rückgeschlossen werden kann. Die Thermische Anemometrie stellt eine weitere indirekte Geschwindigkeitsmessmethode dar. Der Nachteil an diesen indirekten Messungmethoden ist, dass das Messsignal nicht allein von der Geschwindigkeit, sondern auch von anderen Zustandsgrößen abhängt, die also bekannt sein müssen.

Verfahren wie die Particle Image Velocimetry und Laser-Doppler-Anemometrie (siehe Bild) gestattet die direkte und lokale Geschwindigkeitsmessung ohne Sonden. Insbesondere in der Aeroakustik interessieren nicht die Durchschnittswerte, sondern die Schwankungswerte des Drucks, insbesondere die spektrale Leistungsdichte, die durch weitere Signalverarbeitung erhalten wird.

Numerische Strömungsmechanik

Visualisierung einer CFD-Simulation der Boeing X-43 bei Mach 7

Die Leistungsfähigkeit der Computer gestattet es, die Grundgleichungen in wirklichkeitsnahen Randwertproblemen zu lösen und die erzielten, realitätsnahen Resultate haben dazu geführt, dass die numerische Strömungsmechanik ein wichtiges Werkzeug in der Strömungsmechanik wurde. In der aerodynamischen Auslegung und Optimierung haben sich die numerischen Methoden etabliert, denn sie gestatten einen detaillierten Einblick in die Strömungsvorgänge, siehe Bild, und Untersuchung von Modellvarianten.

Die aus der angewandten Mathematik bekannten Methoden zur Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen versehen vorbereitend das Strömungsgebiet mit einem „numerischen Gitter“. Potentialströmungen verlangen den geringsten Aufwand und auch die Euler-Gleichungen erlauben relativ grobe Gitter. Die bei Anwendung der Navier-Stokes-Gleichungen bedeutsamen Grenzschichten und Turbulenzen erfordern eine hohe räumliche Auflösung des Gitters. In drei Dimensionen steigt die Anzahl der Freiheitsgrade mit der dritten Potenz der Abmessung, so dass auch noch im 21. Jahrhundert der Aufwand für die Direkte Numerische Simulation bei Anwendungen in der Fahrzeugentwicklung nicht vertretbar ist. Daher kommen Turbulenzmodelle zum Einsatz, die die notwendige Auflösung zu reduzieren gestatten. Trotzdem sind oftmals Systeme mit mehreren zehnmillionen Gleichungen für mehrere tausend Iterations- oder Zeitschritte zu lösen, was eines Rechnerverbunds und effizienter Programmierung bedarf.

Interdisziplinäre Arbeitsgebiete

Rheologie

Hauptartikel: Rheologie

Die Rheologie oder Fließkunde ist eine interdisziplinäre Wissenschaft, die sich mit dem Verformungs- und Fließverhalten von Materie beschäftigt, und berührt daher auch die Strömungsmechanik. Die phänomenologische Rheologie befasst sich mit der Formulierung von Materialmodellen, die Strukturrheologie trachtet danach, das makroskopische Materialverhalten aus der mikroskopischen Struktur der Stoffe zu erklären, und die Rheometrie stellt Messverfahren zur Bestimmung der rheologischen Eigenschaften, z. B. der Viskosität, bereit.

Fluidenergiemaschinen

Eine mit dem Maschinenbau zusammen arbeitende Disziplin sucht mit Integralformen der Grundgleichungen makroskopische Größen der Strömungen abzuleiten, wie Volumenströme, Kräfte, Arbeiten und Leistungen. Diese Größen sind in Ingenieursproblemen in Fluidenergiemaschinen von besonderem Interesse. Eine der ersten Resultate auf diesem Gebiet formulierte Leonhard Euler in der nach ihm benannten Euler’schen Turbinengleichung.

Mikrofluidik

Ein chemischer Mikroreaktor

Die Mikrofluidik ist das Teilgebiet der Mikrosystemtechnik, das die Umströmung von Objekten oder Durchströmungen von Kanälen, bei Abmessungen kleiner als ein Millimeter, untersucht, siehe Bild. Die kontinuumsmechanische Behandlung von Strömungs- und Transportprozessen auf dieser Längenskala ist in vielen Fällen nicht ohne weiteres möglich. Es werden Korrekturen an den Gleichungen oder gar Molekulardynamik-Simulationen notwendig, um die Strömungsvorgänge korrekt wiederzugeben. Prominenter Anwendungsfall ist der Druckkopf eines Tintenstrahldruckers. Aber auch der Aufbau eines vollständigen Analyselabors auf einem Chip (eng. Lab-on-a-chip für „Labor auf einem Chip“ oder micro-total-analysis system für „Mikro-vollständiges-Analyse-System“) erfordert die Kenntnis der Strömungs- und Transportprozesse auf der Mikroskala.[3]

Bioströmungsmechanik

Die Bioströmungsmechanik befasst sich mit der Innen- und Umströmung von belebten Körpern, deren charakteristisches Merkmal unter anderem ist, von flexiblen und strukturierten Oberflächen berandet zu sein. Es wird die Fortbewegung von Einzellern, Kaulquappen und Fischen bis hin zu Walen im Wasser untersucht. Bei der Fortbewegung durch die Luft wird insbesondere der Vogelflug ergründet. Der Wärme- und Stofftransport in Lebewesen bei der Atmung, im Blut- und Lymphkreislauf und der Wasserkreislauf sind auch in der Medizin von Interesse.[4]

Magnetohydrodynamik

Die Magnetohydrodynamik (MHD) berücksichtigt die elektrischen und magnetischen Eigenschaften von Flüssigkeiten, Gasen und Plasmen und untersucht zusätzlich die Bewegung unter Wirkung der vom Medium selbst erzeugten Felder und die Bewegung in äußeren Feldern. Die Bewegungsgleichungen sind die um elektrodynamische Kräfte erweiterten Euler-Gleichungen, deren Lösung sehr kompliziert werden kann. Durch weitere Annahmen können die Gleichungen jedoch vereinfacht werden, um ihre Lösung zu erleichtern. Die Annahme, dass die elektrische Leitfähigkeit des Plasmas unendlich groß ist, es daher also keinen elektrischen Widerstand besitzt, führt auf die „Ideale MHD“ im Gegensatz zur „resistiven MHD“ mit endlicher Leitfähigkeit. Typische Anwendungsgebiete der Magnetohydrodynamik sind die Strömungsbeeinflussung und die Strömungsmessung in Metallurgie und Halbleiter-Einkristallzüchtung sowie die Beschreibung von Plasmen in stellaren Atmosphären und Fusionsreaktoren.[5]

Kontinuumsmechanische Grundlagen

Strömungen können aus den Augen der statistischen Mechanik als Partikelströme oder als Kontinuumsströmungen betrachtet werden. Letzterer Ansatz kommt aus der Kontinuumsmechanik,[6] in der vom molekularen Aufbau der Fluide abgesehen wird und sie als Kontinuum angenähert werden, in dem die physikalischen Eigenschaften kontinuierlich über den Raum verschmiert sind. Dieser phänomenologische Ansatz erlaubt effizient realitätsnahe Vorhersagen zu formulieren. Die für die Strömungsmechanik relevanten kinematischen, physikalischen und konstitutiven kontinuumsmechanischen Gleichungen werden im Folgenden zusammengefasst.

Kinematik

Die Strömungsmechanik benutzt die eulersche Betrachtungsweise, die die an einem festen Raumpunkt vorhandenen physikalischen Größen untersucht. Weil sich die physikalischen Gesetze auf materielle Punkte (hier: Fluidelemente) und nicht auf Raumpunkte beziehen, muss bei der Zeitableitung die substantielle Ableitung benutzt werden. Diese besteht aus einem lokalen und einem konvektiven Anteil:

Das vom Fluid transportierte Feld f kann skalar- oder vektorwertig sein und hängt wie die Geschwindigkeit vom Ort und der Zeit ab. Die partielle Ableitung ist die lokale Ableitung, d. h. die an einem festen Raumpunkt zu beobachtende Änderungsgeschwindigkeit, und der zweite Term mit dem Gradienten grad oder dem Nabla-Operator ist der konvektive Anteil. Im Fall einer vektoriellen Größe wird in der Strömungsmechanik die Schreibweise mit dem Vektorgradient bevorzugt.

In der Strömungsmechanik ist die Geschwindigkeit die primäre Unbekannte und ihr Gradient, der Geschwindigkeitsgradient

ist eine zentrale Größe bei der Beschreibung von Strömungsvorgängen. Die Geschwindigkeitskomponenten beziehen sich auf ein kartesisches Koordinatensystem mit x-, y- und z-Koordinaten. Für ein Fluidelement mit (infinitesimal) kleinem Volumen dv ergibt sich die Volumenänderungsgeschwindigkeit

Die Spur Sp des Geschwindigkeitsgradienten ist somit ein Maß für die Volumenänderungsgeschwindigkeit, die auf Grund der Massenbilanz unten mit einer Dichteänderung einher geht. Die Spur ist gleich der Divergenz div des Geschwindigkeitsfeldes: Der Geschwindigkeitsgradient kann additiv in einen symmetrischen Anteil d und einen schiefsymmetrischen Anteil w zerlegt werden:

Das Superskript bezeichnet die Transposition. Der symmetrische Anteil d ist der Verzerrungsgeschwindigkeitstensor, mit dem sich mit

die Dehnungsgeschwindigkeit in -Richtung und die Schergeschwindigkeit in der 1-2-Ebene berechnet, die von zueinander senkrechten Einheitsvektoren (mit der Länge eins) aufgespannt wird. Der schiefsymmetrische Anteil w ist der Wirbeltensor, dem über

ein Vektor zugeordnet werden kann, der im Fall des Wirbeltensors Winkelgeschwindigkeit genannt wird und die Drehgeschwindigkeit der Fluidelemente um sich selbst angibt. Nach obiger Definition berechnet sich

Die Rotation rot des Geschwindigkeitsfeldes wird als Wirbelstärke oder Wirbelvektor bezeichnet:

Gelegentlich wird auch definiert, was keinen wesentlichen Unterschied ausmacht.

Naturgesetze

Die Kontinuumsmechanik formuliert die folgenden, an jedem Fluidelement geltenden Naturgesetze:

  1. Massenbilanz:
  2. Impulsbilanz: und
  3. Energiebilanz:

Darin sind ρ die Dichte, eine Schwerebeschleunigung, der Cauchy’sche Spannungstensor, u die innere Energie, der Wärmestrom, innere Wärmequellen z. B. aus Phasenübergängen, „“ das Frobenius-Skalarprodukt von Vektoren und „:“ dasjenige von Tensoren. Die Drehimpulsbilanz reduziert sich auf die Forderung nach der Symmetrie des Spannungstensors

Materialmodelle

Abgeschlossen wird das System aus kinematischen und Bilanzgleichungen durch ein Materialmodell des Fluids, das den Spannungstensor in Abhängigkeit von dem Verzerrungsgeschwindigkeitstensor, der Dichte oder weiteren Konstitutivvariablen spezifiziert. Das Materialmodell der klassischen Materialtheorie für das linear viskose oder newtonsche Fluid

ist das, in der Strömungsmechanik hauptsächlich benutzte Materialmodell. Darin sind p der im Allgemeinen von der Dichte ρ abhängige Druck, λ und μ die ersten und zweiten Lamé-Konstanten und I der Einheitstensor. Der Verzerrungsgeschwindigkeitstensor ist im Allgemeinen voll besetzt und dann treten geschwindigkeitsabhängige Schubspannungen auf, die sich makroskopisch als Viskosität bemerkbar machen. In Kombination mit der Impulsbilanz liefert dieses Modell die Navier-Stokes-Gleichungen. Weil der Druck, die Dichte und der Verzerrungsgeschwindigkeitstensor objektiv sind (siehe Euklidische Transformation), sind die Navier-Stokes-Gleichungen invariant gegenüber einem Wechsel des Bezugssystems.

Im wichtigen Sonderfall der Inkompressibilität, die bei Strömungsgeschwindigkeiten weit unterhalb der Wellenausbreitungsgeschwindigkeit im Fluid in guter Näherung angenommen werden kann, vereinfacht sich diese Gleichung zu

und der Druck p ergibt sich nicht mehr aus einer konstitutiven Beziehung, sondern allein aus den Randbedingungen und der Impulsbilanz. Bei großen Reynoldszahlen oder abseits von Grenzschichten können die viskosen Anteile vernachlässigt werden:

Ein Fluid mit diesem Spannungstensor gehorcht den Euler-Gleichungen der Strömungsmechanik. Wenn hier die Dichte eine eineindeutige Funktion des Drucks ist, dann ist das Fluid Cauchy-elastisch und konservativ, Kompressionsarbeit in ihm jedenfalls reversibel.

Neben diesen klassischen Materialmodellen betrachtet die Strömungsmechanik auch jedes andere fließende Material, unter anderem Plasma, nicht-newtonsche Fluide oder duktile Materialien bei großen Verformungen, wo die elastische Deformation gegenüber der plastischen vernachlässigt werden kann.

Siehe auch

Literatur

  •  Prandtl-Führer durch die Strömungslehre. Grundlagen und Phänomene. 13. Auflage. Springer Vieweg, 2012, ISBN 978-3-8348-1918-5.
  •  F. Durst: Grundlagen der Strömungsmechanik. Springer, 2006, ISBN 3-540-31323-0.
  •  G. Bollrich: Technische Hydromechanik 1. Grundlagen. Verlag Bauwesen, 2007, ISBN 3-345-00912-9.
  •  A. Dillmann, K. Wieghardt: Theoretische Strömungslehre. Universitätsverlag Göttingen, 2005, ISBN 3-938616-33-4.
  •  George Keith Batchelor: An Introduction to Fluid Dynamics. Cambridge University Press, 1967, ISBN 0-521-04118-X.
  •  P. K. Kundu: Fluid Mechanics. Academic Press, 2015, ISBN 978-0-12-405935-1.
  •  Wolfgang Schröder: Fluidmechanik. Wissenschaftsverlag Mainz in Aachen, Aachen 2004, ISBN 3-86130-371-X.
  •  Jann Strybny: Ohne Panik Strömungsmechanik. 2. Auflage. Vieweg, 2005, ISBN 3-528-13194-2.

Weblinks

Commons: Strömungsmechanik - Weitere Bilder oder Audiodateien zum Thema
 Wiktionary: Strömung – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Einzelnachweise

  1.  F. Durst: Grundlagen der Strömungsmechanik. Springer, 2006, ISBN 3-540-31323-0, S. 10–16.
  2.  Prandtl-Führer durch die Strömungslehre. Grundlagen und Phänomene. 13. Auflage. Springer Vieweg, 2012, ISBN 978-3-8348-1918-5, S. 58.
  3.  Nam-Trung Nguyen: Mikrofluidik. Entwurf, Herstellung und Charakterisierung. Vieweg+Teubner Verlag, 2004, ISBN 978-3-519-00466-0.
  4.  H. Oertel: Bioströmungsmechanik. Grundlagen, Methoden und Phänomene. 2. Auflage. Vieweg+Teubner, 2012, ISBN 978-3-8348-1765-5.
  5.  Peter A. Davidson: An introduction to magnetohydrodynamics. Cambridge Univ. Press, Cambridge 2006, ISBN 978-0-521-79487-9.
  6.  Peter Haupt: Continuum Mechanics and Theory of Materials. Springer, 2002, ISBN 3-540-43111-X.